中考二次函数题，证明角相等（或对称）

Tesla35

抽象出来的图形如下：
随便画一个抛物线如$y=-\frac{1}{2}x^2$,过定点$(0,-2)$的动直线交抛物线于两点$A,D$,已知定点$E(0,2)$求证$DE,AE$关于$y$轴对称。

只要两定点关于抛物线顶点对称就有这个性质，有什么几何解释么？

其妙

角平分线定理？

kuing

首先作伸缩变换，总能将抛物线的焦点变成动直线过的定点，而那两条直线对称当且仅当伸缩变换后对称，所以我们只需要证明动直线过抛物线焦点的情形下成立即可。



如图，易证 $OA$、$OB$ 分别过那两个垂足，于是易得 $PF=2xy/(x+y)$，故
\[\tan\angle APF=\frac{\sqrt{x^2-(PF-x)^2}}x=\sqrt{1-\left( \frac{2y}{x+y}-1 \right)^2}=\sqrt{1-\left( \frac{x-y}{x+y} \right)^2}=\frac{2\sqrt{xy}}{x+y},\]
同理 $\tan\angle APF=2\sqrt{xy}/(x+y)$，故……

kuing

还是不怎么满意，感觉应该还有更简单更几何化的方法……不知以前有没有做过，没想起来……

kuing

这样做简单一些：

\[A'B'=\sqrt{AB^2-(AA'-BB')^2}=\sqrt{(x+y)^2-(x-y)^2}=2\sqrt{xy},\]
故
\[PA'=\frac{FA}{AB}\cdot A'B'=\frac x{x+y}\cdot2\sqrt{xy},\]
所以
\[\cot\angle A'PA=\frac{PA'}{AA'}=\frac{2\sqrt{xy}}{x+y},\]
同理……

Tesla35

找到了之前的考题，第三问是一样的，附原考题参考答案

kuing

回复 6# Tesla35

还是用了解析法……

Tesla35

是啊中考题的答案嘛，要是用了不该用的方法会被人骂的

kuing

和高中题没什么区别……

Tesla35

回复 9# kuing

这题2k很久以前写过……
see also:
kkkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=895

其妙

角平分线定理？
其妙 发表于 2013-9-17 12:59