来自人教群的“可构造三角形函数”

kuing

爱好者-学习(3308*****)  19:15:35

请教一下上面的题目，谢谢
Admin-kuing  19:16:16
又改了名称……
上确界 <= 2*下确界
爱好者-学习(3308****)  19:19:08
谢谢

具体证起来还得想想怎么表达，吃个饭先回来再写。

kuing

对于函数 $f(x)$，若 $\forall a$, $b$, $c\in\mbb R$，$f(a)$, $f(b)$, $f(c)$ 为某一三角形的三边长，则称 $f(x)$ 为“可构造三角形函数”。

命题1：若 $f(x)$ 的值域为 $(m,n)$，则 $f(x)$ 为“可构造三角形函数”的充要条件为 $2m\geqslant n$。

证明：若 $2m\geqslant n$，则易见 $m$, $n$ 都为正，对任意 $a$, $b$, $c\in\mbb R$，有 $f(a)+f(b)>2m\geqslant n>f(c)$，式中 $a$, $b$, $c$ 的顺序可以互换，所以 $f(a)$, $f(b)$, $f(c)$ 为某一三角形的三边长，$f(x)$ 为“可构造三角形函数”；

若 $2m<n$，显然 $m$ 为负数时 $f(x)$ 不可能是“可构造三角形函数”，当 $m\geqslant0$ 时，由 $2m<n$ 可设 $n=2m+3d$，其中 $d>0$，因为 $f(x)$ 的值域为 $(m,2m+3d)$，而 $m<m+d<2m+2d<2m+3d$，故存在 $a$, $b$, $c\in\mbb R$ 使 $f(a)=f(b)=m+d$, $f(c)=2m+2d$，此时 $f(a)+f(b)=f(c)$，即 $f(a)$, $f(a)$, $f(c)$ 不构成三角形三边，$f(x)$ 也不是“可构造三角形函数”。

综上，命题1得证。

命题1$'$：若 $f(x)$ 的值域为 $[m,n)$ 或 $(m,n]$，则 $f(x)$ 为“可构造三角形函数”的充要条件为 $2m\geqslant n$。

命题1$''$：若 $f(x)$ 的值域为 $[m,n]$，则 $f(x)$ 为“可构造三角形函数”的充要条件为 $2m>n$。

证法类似

kuing

回到原题，有
\[f(x)=\frac{e^x+t}{e^x+1}=1+\frac{t-1}{e^x+1},\]
若 $t=1$，此时 $f(x)$ 恒为 $1$，符合命题1$''$；

若 $t\ne1$，由于 $1/(e^x+1)$ 的值域是 $(0,1)$，故若 $t>1$ 则 $f(x)$ 的值域是 $(1,t)$，若 $t<1$ 则 $f(x)$ 的值域是 $(t,1)$，所以由命题1易得 $1/2\leqslant t<1$ 或 $1<t\leqslant2$。

综上，选D。

其妙

再来一次博客党：blog.sina.com.cn/s/blog_d7f6c5a90101pr88.html
同类题：blog.sina.com.cn/s/blog_d7f6c5a90101oucm.html

kuing

回复 4# 其妙

那样写其实是不太对的，至少是不严格的，因为 f 没有 min 和 max，所以我当时在群里说的是确界，而在后来写证明时扯这么多，也是为了处理好这些细节。

其妙

回复 5# kuing
哦，我也没仔细看他博客的解法，只是一个大概印象，也不想仔细看

其妙

kkkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=1257

kk（充要）：$a^2+b^2=c^2, ab>c, a^2b^2>a^2+b^2, (a^2−1)(b^2−1)>1$，故此当且仅当 $M⩾\sqrt2$

yes(必要性)：取直角三角形的三边$t$，$t$，$\sqrt2 t$，则$\ln t+\ln t>\ln\sqrt2 t$，即$t^2>\sqrt2 t$，$t>\sqrt2$，于是$M<\sqrt2$不可行，

     所以至少应满足$M⩾\sqrt2$。充分性：kk已证。