这道圆锥曲线题的背景

史嘉

2013安徽卷理科 18：
第二问的答案是：x+y=1
该题有何广泛意义的背景，在下才疏学浅，求教于大方之家。

设椭圆 $E: x^2/a^2+y^2/(1-a^2)=1$ 的焦点在 $x$ 轴上。

（1）略；

（2）设 $F_1$, $F_2$ 分别是椭圆 $E$ 的左、右焦点，$P$ 为椭圆 $E$ 上第一象限内的点，直线 $F_2P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$，并且 $F_1P\perp F_1Q$。证明：当 $a$ 变化时，点 $P$ 在某定直线上。

其妙

回复 1# 史嘉
又要准备写文章了？

史嘉

总想找到命题者的命题根源，定直线与椭圆相切，不知有何来头，有没有更深的渊源？

kuing

背景我不是很清楚了，不过我得到了以下解法，不知能否看到一些背景的影子？

设 $(x_0,y_0)$ 为椭圆 $E$ 上的点，由柯西不等式，有
\[1=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{1-a^2}\geqslant \frac{(x_0+y_0)^2}{a^2+1-a^2}=(x_0+y_0)^2 \riff x_0+y_0\leqslant1,\]
因此椭圆上的点不会跑到直线 $x+y=1$ 的上方去，而且总存在满足取等条件的点（可以由取等条件解出具体的点，这里不详写，其实想想想也知道一定能取等），即椭圆与直线 $x+y=1$ 总有公共点，由此可见椭圆恒与直线 $x+y=1$ 相切。


作 $\angle F_1PQ$ 的角平分线交 $y$ 轴于 $I$，如图所示，则
\[\angle PIQ=180\du-\angle IPQ-\angle IQP=180\du-\frac12(\angle F_1PQ+\angle F_1QP)=135\du,\]
从而 $PI$ 的斜率恒为 $1$，据根光学性质，椭圆在 $P$ 处的切线斜率恒为 $-1$。

结合以上两点，便知 $x+y=1$ 就是椭圆在 $P$ 处的切线，亦即 $P$ 必在直线 $x+y=1$ 上。

其妙

,强大！

乌贼

这题考死学生，标答？

kuing

回复 6# 乌贼

标答当然是代数证法，其实也不难的，自己百度一下吧。

乌贼

【解析】（I）
$\Theta a^2>1-a^2, 2 c=1, a^2=1-a^2+c^2 \Rightarrow a^2=\frac{5}{8}$ ，椭圆方程为：$\frac{8 x^2}{5}+\frac{8 x^2}{3}=1$ ．
（II）设 $F_1(-c, 0), F_2(c, 0), P(x, y), Q(0, m)$ ，则 $\overline{F_2 P}=(x-c, y), \overline{Q F_2}=(c,-m)$ ．
由 $1-a^2>0 \Rightarrow a \in(0,1) \Rightarrow x \in(0,1), y \in(0,1)$ ．
$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow(x-c)(x+c)=y^2 \Rightarrow x^2-y^2=c^2 \text {. 联立 }\left\{\begin{array}{l}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{1-a^2}=1 \\
x^2-y^2=c^2 \\
a^2=1-a^2+c^2
\end{array}\right. \text { 解得 } \\
& \Rightarrow \frac{2 x^2}{x^2-y^2+1}+\frac{2 y^2}{1-x^2+y^2}=1 \Rightarrow x^2=(y \pm 1)^2 . \Theta x \in(0,1), y \in(0,1) \therefore x=1-y
\end{aligned}
$$
所以动点 P 过定直线 $x+y-1=0$ ．

kuing

回复 8# 乌贼

这是标答？？

乌贼

回复 9# kuing
从中学校长网历年高考真题上下载的，不知是不是标答。

删广告专用

回复 10# 乌贼
找个扫描版的吧 wenku.baidu.com/view/76acb0c0240c844769eaeed8

史嘉

回复 2# 其妙

谢谢老K，有劳又编了一次。几何功底了得。
其妙老师见笑了，都这个时候了还写，呵呵，
讲到此题，总感觉未触及根本，故请教于大家。

isee

背景我不是很清楚了，不过我得到了以下解法，不知能否看到一些背景的影子？

设 $(x_0,y_0)$ 为椭圆 $E$ 上 ...
kuing 发表于 2014-2-26 23:45

把焦点关于y轴对称用得极致了！



我怎么觉得前面那个柯西应有“替代”说法，否则有违和感；

当然，这是非常个人的一念……

乌贼

回复 13# isee
光学性质的典范

kuing

把焦点关于y轴对称用得极致了！



我怎么觉得前面那个柯西应有“替代”说法，否则有违和感；

当然，这是非常个人的一念……
isee 发表于 2014-2-27 13:12

没懂……
由于观察到分母和为1，自然会有柯西的想法……

史嘉

回复 13# isee
说柯西不等式的变形更合适。

其妙

和柯西不等式的取等条件完全吻合。