来自人教群的椭圆短轴所对的周角在长轴顶点最大

kuing

教师-不求甚解(9463****)  22:09:55
求教：椭圆短轴所对的周角当角的顶点在长轴顶点时最小如何证明？

不妨设椭圆为 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 其中 $a>b>0$，两短轴顶点分别为 $A$, $B$，点 $P$ 为椭圆上异于 $A$, $B$ 的任意点。

熟知 $k_{PA}\cdot k_{PB}=-b^2/a^2$，从而由夹角公式有
\[\tan\angle APB=\left|\frac{k_{PA}-k_{PB}}{1+k_{PA}\cdot k_{PB}}\right|=\frac{\abs{k_{PA}}+\abs{k_{PB}}}{1+k_{PA}\cdot k_{PB}}
\geqslant\frac{2\sqrt{\abs{k_{PA}\cdot k_{PB}}}}{1+k_{PA}\cdot k_{PB}}=\frac{2ab}{a^2-b^2},\]
等号成立当且仅当 $\abs{k_{PA}}=\abs{k_{PB}}$，即 $P$ 为长轴端点时。

kuing

忘了说明 $\angle APB$ 必为锐角，然后才有那个夹角公式。
不过说明也比较容易，因为压缩成圆变成直角