从7#开始 五改三 挑战纯几何 证明正三形 20140328

isee

一道陈题，如果只想看看结果，自行搜索，网上应该有一种解答。

如图，$F$为凸五边形$ABCDE$内一点，
若$\angle 1=\angle 2,\angle 3=\angle 4,\angle 5=\angle 6,\angle 7=\angle 8$。
试猜想角$\alpha$与角$\beta$的大小关系。

tommywong

sinαsin∠1sin∠3sin∠5sin∠7=sinβsin∠2sin∠4sin∠6sin∠8

isee

回复 2# tommywong


    厉害，不过，我看不明白，能解释一下吗？

kuing

回复 3# isee

会看不明白？？

isee

回复 4# kuing


    五个乘积怎么等的？

kuing

回复 5# isee

五个三角形顺着用正弦定理然后乘起来啊

isee

回复 6# kuing

soga


那继续变一个：改成三角形中，

如图，$D$为$\triangle ABC$内一点，若$\angle DAB=\angle DBC =\angle DCA=30^\circ$，求证：$\triangle ABC$为等边三角形。

乌贼

回复 7# isee
又是这题

kuing

回复 7# isee

这个简单啊，设另外那三个角为 $x$, $y$, $z$，则 $\sin x\sin y\sin z=1/8$, $x+y+z=90\du$, $x$, $y$, $z$ 为锐角，然后积化和差
\begin{align*}
\frac18&=\sin x\sin y\sin z \\
& =\frac12\bigl(\cos (x-y)-\cos (x+y)\bigr)\sin z \\
& =\frac12\cos (x-y)\sin z-\frac12\sin ^2z \\
& \leqslant\frac12\sin z-\frac12\sin ^2z \\
& =-\frac12\left( \frac12-\sin z \right)^2+\frac18 \\
& \leqslant\frac18,
\end{align*}
然后就只能 $x=y=z=30\du$ 了。

isee

回复 9# kuing


   这还简单？这题绝对的难题。

   只是你对不等式太熟悉了！

isee

回复 8# 乌贼


    我好像是第一次说这题呢。

其妙

回复 8# 乌贼
真是狭路相逢啊，几何高手遇到几何高手了，

其妙

回复 9# kuing
几何难题遇到不等式专家也没辙了

kuing

回复 13# 其妙

那个后面的步骤你也能够想到吧，其实是蛮常规的东东……

其妙

回复 14# kuing
看的懂，想还是难想到啊

乌贼

回复 11# isee
是我以前遇到过，纯几何法没证出来

isee

回复  isee
是我以前遇到过，纯几何法没证出来
乌贼 发表于 2014-3-7 23:38

    这题搞不好，真没有纯几直接法。

乌贼

回复 17# isee
问点么

其妙

回复  isee
是我以前遇到过，纯几何法没证出来
乌贼 发表于 2014-3-7 23:38

既然用不等式取等条件能做，那么对应的几何方法是同一法么？（我没动过手哈）

isee

回复 7# isee


原题
如图，$D$为$\triangle ABC$内一点，若$\angle DAB=\angle DBC =\angle DCA=30^\circ$，求证：$\triangle ABC$为等边三角形。

由条件可得等价形式是：$DA+DB+DC=2(DE+DF+DG)$ .