在某教师群看到的$\abs x\le1,\abs{f(x)}\le1$

kuing

潮州庄(1824****) 11:37:13
$f(x)=a x^3+x^2+x+b, a, b \in R$ ，当 $|x| \leq 1$ 时 $|f(x)| \leq 1$，则 $a, b$ 必属于
A．$[-2,0]$
B．$[0,2]$
C．$[-1,0]$
D．$[0,1]$

跟以往见到的这类题有点不一样，因为二次项和一次项的系数是定的，反而不太容易确定参数的范围。
不过，题目问的是 $a,b$ 必属于什么，不是问取值范围，那么选项可以比实际的取值范围要大。
那精确的取值范围如何求？时间关系大家先玩玩。

kuing

暂时得到
\[a\leqslant-\frac13\sqrt{2\sqrt3-3}\]
不知是不是最大值，最小值还不知道……

kuing

暂时得到
\[a\leqslant-\frac13\sqrt{2\sqrt3-3}\]
不知是不是最大值，最小值还不知道……
kuing 发表于 2014-2-27 23:50

由来：
设 $-1\leqslant x_0<1$，则由条件得
\[2\geqslant \abs{f(1)}+\abs{f(x_0)}\geqslant \abs{f(1)-f(x_0)}
=\abs{a(1-x_0^3)+2-x_0^2-x_0},\]
因此
\[a\leqslant\frac{x_0^2+x_0}{1-x_0^3},\]
通过求导可得当 $x_0=\bigl(-\sqrt3-1+\sqrt{2\sqrt3}\bigr)/2\approx -0.435421$ 时上式右边取最小值 $-\sqrt{2\sqrt3-3}/3$，所以就得到
\[a\leqslant-\frac13\sqrt{2\sqrt3-3}.\]
就差具体的验证了，时间关系明天再玩……

kuing

回复 3# kuing

有了，当
\[f(x)=-\frac13\sqrt{2\sqrt3-3}x^3+x^2+x+\frac13\sqrt{2\sqrt3-3}-1\]
时满足条件，故上面求出的的确是 $a$ 的最大值。
图形：

乌贼

选择题吗。$\begin{cases} -1\leqslant f(-1)=b-a\leqslant1 \\ -1\leqslant f(1)=b+a+2\leqslant1\\-1\leqslant f(0)=b\leqslant1\end{cases}\riff-1\leqslant b\leqslant0$
大题……等价于$g(x)=ax^3+x^2+x,a\in R,x\in[-1,1]$，当$g(x)_{\max}-g(x)_{\min}=2$时，$a$的取值范围。

kuing

大题……等价于$g(x)=ax^3+x^2+x,a\in R,x\in[-1,1]$，当$g(x)_{\max}-g(x)_{\min}=2$时，$a$的取值范围。
乌贼 发表于 2014-2-28 13:37

$=2$ 应该是 $\le2$
这样子分类讨论应该可以进行下去，不过很麻烦。
我上面是先猜到一端，再待定另一边，侥幸解出了最大值，但是最小值可能很困难。

乌贼

回复 6# kuing
是小于等于

kuing

回复 3# kuing

类似地，设 $-1<x_0\leqslant1$，则由条件得
\[2\geqslant \abs{f(-1)}+\abs{f(x_0)}\geqslant \abs{f(x_0)-f(-1)}
=\abs{a(1+x_0^3)+x_0^2+x_0},\]
因此
\[a(1+x_0^3)+x_0^2+x_0 \geqslant -2 \riff a\geqslant-\frac{x_0^2+x_0+2}{1+x_0^3},\]
这次就没那么幸运了，要求右边的最大值，求导后的四次方程不简单……
用软件求出右边最大值的近似值为 $-1.83876$，当 $x_0$ 约为 $-0.281476$ 时取得。

当 $f(x)= -1.83876 x^3+x^2+x -0.838759$ 时的图形：

这样看来 $a$ 的最小值就约为 $-1.83876$。