高中圆锥曲线的一个延伸理论

lio

即若直线l:my+nx=1 与曲线C:Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0相交于不同两点，则两点的坐标满足关于x，y的齐次方程：Ax²+Bxy+Cy²+（Dx+Ey）（my+nx）+F（my+nx）²=0，它的理论依据是什么？求指教。

kuing

那个齐次方程可以整理为
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F+(my+nx-1)\bigl(Dx+Ey+F(my+nx+1)\bigr)=0\]
故交点必在其上……

其妙

回复 2# kuing
牛笔！这个等价变形真的厉害！

其妙

回复 1# lio
这种齐次做法在求关于斜率问题时很有效，例如原点到两个交点的斜率之和与斜率之积时非常有用。又例如垂直时挺有效的。

kuing

回复 4# 其妙

搞点实例来瞧瞧

isee

回复 5# kuing


    如果能用曲线系来解题，这根本不用看例子了。


    至少学生很难立刻上手；真是没什么的，很多时候只是一个过程的简化：将两次韦达定理合二为一。

    不多说，直接给例子吧：wenku.baidu.com/view/01620a30e2bd960590c677ae.html


    罗增儒教授曾经 写过 一篇叫 《心路历程：认识、反思、拓展》，即从 2007年卷理科第21题的讨论，可以看清来龙去脉。

kuing

回复 6# isee

soga

其妙

这儿也有一些实例：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101hx96.html
或wenku.baidu.com/view/c214a941be1e650e52ea991d.html

lio

回复 4# 其妙
   嗯，原是在解决椭圆上任一定点与两动点连线的斜率问题。一般情况，直接解较复杂，于是，通过向原点的平移，整体变换曲线，再构造齐次式，二次方程，韦达定理求。
    见识了很多思路和表达形式，颇为受益，其本质就是联系方程，曲线纯粹完备性的一种聪明的代换吧。

lio

回复 2# kuing

[quote]牛笔！这个等价变形真的厉害！

[/quote]
daimo，必要性成立，总觉得似乎，好像，有那么一点儿不得劲儿。。。。。

hbghlyj

其妙 发表于 2014-3-7 09:32
这儿也有一些实例：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101hx96.html

系统维护中，博文仅作者可见。登陆后可查看本人文章。

@其妙 请问，有存档吗

hbghlyj

isee 发表于 2014-3-7 07:22
不多说，直接给例子吧：wenku.baidu.com/view/01620a30e2bd960590c677ae.html

对不起，该文档已被删除
原文档的标题为《构造齐次方程,求解一类圆锥曲线问题》
根据标题，查到一篇标题相同的文档，不知是否就是它：
wenku.baidu.com/view/a23db3b426284b73f242336c1eb91a37f111328f
构造齐次方程解一类圆锥曲线问题
作者： 徐辉
摘要：
以2013年江西省高考卷(理)第20题为例,通过构造齐次方程,再转化为一元二次方程利用韦达定理解决一类过定点引二次曲线两条割线斜率之和与之积的问题.
关键词： 圆锥曲线 齐次方程 韦达定理 斜率
DOI： 10.3969/j.issn.1673-2162(z).2014.07.389

hbghlyj

其妙 发表于 2014-3-7 09:32
或http://wenku.baidu.com/view/c214a941be1e650e52ea991d.html

对不起，该文档已被删除
根据标题，搜到一篇文档，不知是否就是它：

构造齐次方程巧解一类圆锥曲线问题 [J] . 黎承忠 . 中学理科：高考导航 . 2007,第010期