一个函数单调性的证明

aishuxue

证明函数$f(x)=x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{4}{x}+\dfrac{2(x+2)cosx}{x}$在$(0,1)$上单调递减.

kuing

比较无趣地，不断求导……
\[f'(x)=\frac{x^3+x^2+4-2x^2\sin x-4\cos x-4x\sin x}{x^2},\]
令
\[g(x)=2x^2\sin x+4x\sin x+4\cos x-x^3-x^2-4,\]
因 $g(0)=0$，故只需证 $g'(x)>0$，求导得
\[g'(x)=x(2x\cos x+4\sin x+4\cos x-3x-2),\]
令
\[h(x)=2x\cos x+4\sin x+4\cos x-3x-2,\]
只需证 $h(x)>0$，求二阶导得
\[h''(x)=-2\sin x-2x\cos x-6\sin x-4\cos x<0,\]
故
\[h(x)>\min \{h(0),h(1)\}=\min \{2,6\cos1+4\sin1-5\},\]
而
\[6\cos1+4\sin1>6\cos\frac\pi3+4\sin\frac\pi4=3+2\sqrt2>5,\]
故 $h(x)>0$，得证。

kuing

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$\epsilon$ 不是跟 $x$ 有关的么？那样求导会不会有问题？

战巡

回复 3# kuing


算了，不折腾了，直接删了

kuing

回复 4# 战巡