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复系数方程的求解 知识点： 1.复系数方程的一般求解方法； 2.复系数方程与实系数方程解的关联性； 教学过程： 1.系数为复数的方程统称为复系数方程； 2.复系数方程的一般求解方程方法为待定系数法； 3.复系数一元二次方程的根满足韦达定理； 4.复系数一元$n$次方程有且仅有$n$个根（$k$重根按$k$个根记），此结论由高斯在1797年的博士论文中严格证明。并称为代数基本定理。 例1.解关于$x$的方程： （1）$x^{2}-3-4 i=0$ （2）$x^{2}-(1+i) x+i=0$ （3）$(1+i) x^{2}-(1-i) x-2-6 i=0$ （4）$x^{2}-(3+i) x+4+3 i=0$ （5）$2 x^{2}-5 x+2+\left(x^{2}-x-2\right) i=0$ 例2.设方程$x^{2}-p x+k=0$有一个根是$1+2 i$。 （1）若$p \in R$，求实数$k$的值； （2）若$p=4$，求复数$k$的值； 例3.解关于$x$的方程$(1+x)^{n}-(1-x)^{n}=0, n \in N$。 例4.设$x_{1}=u+v i, u, v \in R$是关于$x$的方程$a x^{2}+i b x+c=0, a, b \in R$的根，求方程的另一个根； 例5.设$k \in R$，关于$x$的方程$x^{2}+(k+2 i) x+2+k i=0$有实数解，求$k$的值，并求方程的根。 例6.已知关于$x$的方程$a(1+i) x^{2}+\left(1+a^{2} i\right)+a^{2}+i=0$有实数解，求实数$a$积方程的根。 例7.已知关于$x$的方程$x^{2}-(6+i) x+9+a i=0$,$a \in R$有实数根$b$。 （1）求实数$a, b$的值； （2）若复数$z$满足$|\bar z-a-b i|-2|z|=0$，求$z$为何值时，$\abs z$有最小值，并求出$\abs z$的值。 例8.关于$x$的二次方程$x^{2}+z_{1} x+z_{2}+m=0$中，$z_{1}, z_{2}, m$均是复数，且$z_{1}^{2}-4 z_{2}=16+20 i$. 设这个方程的两个根为$\alpha$、$\beta$，且满足$|\alpha-\beta|=2 \sqrt{7}$.求$\abs m$的最大值和最小值。 例9.已知方程$x^{6}+x^{3}+1=0$，求证：在复平面上连结$(1,0)$与以方程根为顶点的多边形各顶点的所有线段之积等于$3$． 例10.已知$\cos x+\cos y+\cos z=\sin x+\sin y+\sin z=0$，利用复数求证：$\cos 2 x+\cos 2 y+\cos 2 z=0$。 例11.已知复数$Z$满足$11 z^{10}+10 z^{9} i+10 z i-11=0$，求证：$|z|=1$。 作业： 1.解下列方程： （1）${\bar z}^2=z$；（2）$z^{2}-4|z|+3=0$；（3）$z^{2}-2 z i-5=0$；（4）$z^{2}-(3-i) z+4-3 i=0$ 2.已知关于$x$的方程$x^{2}+(1+2 i) x-(3 m-1) i=0$有实根,试求纯虚数$m$的值. 3.已知复数$z_1$满足：$(1+2 i) \bar{z}_{1}=4+3 i, z_{n+1}-z_{n}=2+2 i\left(n \in N^{*}\right)$. (1)求复数$z_1$（2）求满足$\left|z_{n}\right|$$\leq 13$的最大正整数n. 4.已知关于$x$的方程$x^{2}-z x+4+3 i=0$有实数解，求复数$z$的模的最小值； 5.设复数$\alpha$、$\beta$对应于复平面上的点A、B，且$\alpha^{2}-2 \alpha \beta+4 \beta^{2}=0$，$|\alpha-\sqrt{3}+i|=1$，O为原点，求$\triangle O A B$的最大面积。 6.设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为$z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{20}$求复数$z_{1}^{1995}, z_{2}^{1995}, \cdots, z_{20}^{1995}$所对应的不同的点的个数； 7.关于$x$的方程$x^{2}+z_{1} x+z_{2}+m=0$，$z_{1}, z_{2}, m \in C$的两个根$\alpha, \beta$满足$|\alpha-\beta|=2 \sqrt{7}$，若$z_{1}^{2}-4 z_{2}-16-20 i=0$。求$|m|$的最值。 8.已知方程$x^{2}+(4+i) x+4+a i=0, a \in R$有实数根$b$，且$z=a+b i$，求复数$\bar{z}(1-c i)(c>0)$的辐角主值的取值范围。 9.如果复数$|w|=1$，求证：关于$x$的方程$\left(\frac{1+i x}{1-i x}\right)^{n}=w, n \in N^{*}$的所有根都不是相等的实数。 10.设$p, q \in C, q \neq 0$，关于$x$的方程$x^{2}+p x+q^{2}=0$的两个根的模相等，求证：$\frac{p}{q}$是实数。 | 
kuing
Posted 2014-3-8 09:59
