谁能找出这题解法的错误之处？

数学小黄

已知不等式 $|a-2 x|>x-1$ 对任意的 $x \in[0,2]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。
解：$\left\{\begin{array}{l}a-2 x \geqslant 0 \\ a-2 x>x-1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a-2 x<0 \\ 2 x-a>x-1\end{array}\right.$ 对位意 $x \in[0, 2]$ 恒成立。
即 $\left\{\begin{array}{l}a \geqslant 2 x \\ a>3 x-1\end{array}\left\{\begin{array}{l}a<2 x \\ a<x+1\end{array}\right.\right.$ 在 $x \in[0,2]$ 上恒成立 $\therefore a=5$ 或 $a<0$

hongxian

A或B恒成立应该不等价于A恒成立或B恒成立，好象可以从对立面来考虑。

kuing

回复 3# hongxian

嗯，而且后面似乎也不能相加

hongxian

回复 2# 数学小黄


    反面:$\exists x\in[0,2]$,使得$\abs{a-2x}\leqslant x-1$
即$\exists x\in[0,2]$,使得$1-x\leqslant a-2x\leqslant x-1$
$\exists x\in[0,2]$,使得$1+x\leqslant a\leqslant 3x-1$
$\therefore 2\leqslant a\leqslant 5$
正面$a< 2$或$a> 5$


当然此题比较好的方法还是数形结合

hongxian

前两天有一个帖子可以参考
forum.php?mod=viewthread&tid=199&extra=page=1

其妙

回复 6# hongxian
我也来一个链接，说明“p或q”恒成立问题，仅供参考
blog.sina.com.cn/s/blog_c50749e40101dmiq.html

数学小黄

多谢，已经弄明白了~

其妙

回复 8# 数学小黄
那是怎么回事?怎么错的？
/

isee

回复  数学小黄


    反面:$\exists x\in[0,2]$,使得$\abs{a-2x}\leqslant x-1$
即$\exists x\in[0,2]$, ...
hongxian 发表于 2013-9-18 19:48

挺好，简明扼要。

如果是我，可能会这样，很笨：

\begin{align*}
x&\in[0,1),&a\in \mathbb{R}\\
x&=1,&a\ne 2\\
x&\in (1,2],\begin{cases} a-2x&>x-1\\a-2x&<x-1 \end{cases} \riff &a>5   \ or   \ a<2
\end{align*}

再将上面三个结果取交集，有$a>5   \ or   \ a<2$

其妙

回复 10# isee
数形结合法比较简便

其妙

回复 11# 其妙
不等式$|a-2x|>x-1$（$x\in[0,2]）$恒成立。
将数形结合改成如下形式的写法：
当$x=2$时，$|a-2|>1$，故$a>5或a<3$，
当$x=1+\dfrac1n$时，$|a-2-\dfrac2n|>\dfrac1n$，故$a>2+\dfrac3n或a<2+\dfrac1n$，
当$n\to+\infty$时，得到$a>2或a<2$，
以上两式说明$a>5或a<2$。这是必要性。
但是当$a>5或a<2$时，不等式$|a-2x|>x-1$（$x\in[0,2]）$恒成立吗？
现在证明它的充分性。
（1）当$a>5$时，因为$x\leqslant2$，所以$|a-2x|=a-2x>5-4=1\geqslant x-1$，即不等式$|a-2x|>x-1$（$x\in[0,2]）$恒成立；
（2）当$a<2$时，$|a-2x|=|2x-a|\geqslant|x-\dfrac a2|\geqslant x-\dfrac a2>x-1（因为-\dfrac a2>-1）$，即不等式$|a-2x|>x-1$恒成立，
综上所述，$a$的取值范围是$a>5或a<3$。

isee

回复  其妙
不等式$|a-2x|>x-1$（$x\in[0,2]）$恒成立。
将数形结合改成如下形式的写法：
当$x=2$时，$|a- ...
其妙 发表于 2013-9-24 19:55

最后一行，结果是小于2误为小于3了？

其妙

回复 13# isee
谢谢！，的确写错了！谢谢提醒！

零定义

回复 5# hongxian
看着这解答，让我想起了一高三老师(算是重点学校的)在给学生复习不等式的解法时，课堂上讲到一个类似这样的例题：$|ax-1|\le x-1$，他的解法如下：$1-x\le ax-1\le x-1$，其解法真TMD“经典”！！！膜拜再膜拜...
当然，这里是存在性问题，hongxian老师的解答很好~

其妙

回复 15# 零定义
其实就是不等式$|f(x)|\leqslant g(x)$的解法。
还有下面这个不等式的解法呢？
$|f(x)|>g(x)$

其妙

回复 12# 其妙
不愿意在原楼层反复修改，我修改都喜欢删掉原帖后再发帖回复（前提是我的回帖之后还没人回贴），
所以修改如下：
不等式$|a-2x|>x-1$（$x\in[0,2]）$恒成立，求$a$的取值范围。
将数形结合改成如下形式的写法：
当$x=2$时，$|a-2|>1$，故$a>5或a<3$，
当$x=1$时，$|a-2|>0$，故$a>2或a<2$，
以上两式说明$a$的取值范围必须在此范围里面：$a>5或a<2$。这是必要性。
但是当$a>5或a<2$时，不等式$|a-2x|>x-1$（$x\in[0,2]）$是否恒成立？
下面证明是恒成立的（即是证明它的充分性）
（1）当$a>5$时，因为$x\leqslant2$，所以$|a-2x|=a-2x>5-4=1\geqslant x-1$，即不等式$|a-2x|>x-1$（$x\in[0,2]）$恒成立；
（2）当$a<2$时，$|a-2x|=|2x-a|\geqslant|x-\dfrac a2|\geqslant x-\dfrac a2>x-1（因为-\dfrac a2>-1）$，即不等式$|a-2x|>x-1$恒成立，
      综上所述，$a$的取值范围确实是$a>5或a<2$。