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问题即为$0\le z \le y \le x\le1,\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{1+xy}\le2$
记$f(x)=\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{1+xy},0\le z \le y \le x\le1$
则$f'(x)=\frac{1}{1+yz}-\frac{yz}{(1+xz)^2}-\frac{yz}{(1+xy)^2}\ge 0$,只需证$\frac{1}{1+yz}\ge\frac{yz}{(1+yz)^2}-\frac{yz}{(1+zy)^2}$
化简即$1+yz\ge 2yz$显然成立.
则只需要证明x=1时，原不等式成立即可，即$0\le z \le y \le1,\frac{1}{1+yz}+\frac{y}{1+z}+\frac{z}{1+y}\le2$
重复以上办法，记得$h(y)=\frac{1}{1+yz}+\frac{y}{1+z}+\frac{z}{1+y},0\le z \le y \le1$
$h'(y)=\frac{1}{1+z}-\frac{z}{(1+y)^2}-\frac{z}{(1+yz)^2}\ge 0$只需证$\frac{1}{1+z}\ge\frac{z}{(1+z)^2}-\frac{z}{(1+z^2)^2}$
即$\frac{1}{(1+z)^2}\ge \frac{z}{(1+z^2)^2}$,化简即$1+z^4\ge z+z^3$即$(1-z)(1-z^3)\ge 0$
所以在y=1，h(y)取到最大值，即只要证明$\frac{2}{1+z}+\frac{z}{2}\le2$，去分母容易得不等式成立，且在z=0取等号. |
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kuing
Posted at 2014-3-10 22:51:59
其妙
Posted at 2014-3-11 00:11:32
