（z）一个平几题

realnumber

广东广州程汉波(28-----79)  21:53:54

kuing

这个很简单吧，由面积关系知右边为定值，而左边当 P 为 BC 中点时最小，所以只要证明当 P 为 BC 中点的情况即可。

kuing

居然取不了等？

设 $BC$ 中点为 $D$，则
\[AB\cdot PE+AC\cdot PF=2S=BC\cdot AD\riff PE+PF=\frac{BC\cdot AD}{AB}=BC\sin B,\]
又
\[PA+BC\geqslant AD+BC=\frac{BC}2\tan B+BC,\]
故
\begin{align*}
\frac{PA+BC}{PE+PF}&\geqslant \frac{\frac12\tan B+1}{\sin B} \\
& =\frac12\left( \frac1{\cos B}+\frac2{\sin B} \right) \\
& =\frac12\left( \frac{1^{3/2}}{\sqrt{\cos ^2B}}+\frac{(2^{2/3})^{3/2}}{\sqrt{\sin ^2B}} \right) \\
& \geqslant \frac12\cdot \frac{(1+2^{2/3})^{3/2}}{\sqrt{\cos ^2B+\sin ^2B}} \\
& =\frac{\sqrt{\bigl(1+\sqrt[3]4\bigr)^3}}2,
\end{align*}
所以
\[PA+BC\geqslant\frac{\sqrt{\bigl(1+\sqrt[3]4\bigr)^3}}2(PE+PF),\]
其中右边的系数约为 $2.08$，比 $2$ 大一点点。

isee

不知道这个程汉波是不是华师那个

其妙

回复 4# isee
嗯，杨春波是外语校的那个

isee

提问者，有没给答案？

踏歌而来

初步判断，这个等号是错误的。

理由如下：
从欲证的  式子 PA＋BC≥2(PE+PF)
可以知道 就是要证 PA＋BC的最小值为 2（PE＋PF）。

BC是定值，PA只有垂直于BC，也就是说PA是BC的高线时，才能取得最小值。

下面我们可以简单地验算一下。
$假设 AB＝AC＝6，BC＝10，$
$BC的中点为D。$
$当P运行到D时，即为所求，$
$此时，AD=\sqrt{11}，AP=AD,AP＋BC=AD+BC=\sqrt{11}＋10。$
$而PE＋PF就是AC、AB上的高，设为h$
$BC×AD＝AC×h，h＝\frac{5\sqrt{11}}{3}$
$2(PE+PF)=2h=\frac{10\sqrt{11}}{3}。$
$显然 \sqrt{11}＋10≠\frac{10\sqrt{11}}{3}。$

kuing

回复 7# 踏歌而来

2 是取不到，我上面已经证明了。
不过取不到的理由并不是你这样去论证的。

踏歌而来

不是去论证，只是取一个反例。

kuing

回复 9# 踏歌而来

问题是你举的例子并不能说明取不到 2

其妙

太坑了，居然还用权方和，

isee

原来是这题是 Erdős–Mordell 不等式的特殊情况，但等号取不到。

isee

原来是这题是 Erdős–Mordell 不等式（注意P亦可以在三角形边界上，几个链接都没说到这点）的特殊情况，但等号取不到。

forum.php?mod=viewthread&tid=2409&extra=&page=3


当然3楼 kuing 已经给了此题的下界

isee

回复 3# kuing

$\frac 32$，是空间里等号成立的时候吧？不确定

爪机专用

回复 14# isee

没懂

isee

回复 15# 爪机专用


    将 Erdős–Mordell 不等式 推广到空间

爪机专用

回复 16# isee

不了解

hbghlyj

几何不等式, 单壿, 初等数学小丛书, 上海教育出版社, 1980
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