正数$a+b+c=3$,证$\sum{\frac1{a^5}}+\frac52(abc)^3\geqslant\frac{11}2$

其妙

已知$a,b,c$ 是正实数，且$a+b+c=3$ ，求证：\[\frac{1}{{{a^5}}} + \frac{1}{{{b^5}}} + \frac{1}{{{c^5}}} + \frac{5}{2}{a^3}{b^3}{c^3} \geqslant \frac{{11}}{2}\] .

kuing

由幂平均有
\[\left( \frac13\left( \frac1{a^5}+\frac1{b^5}+\frac1{c^5} \right) \right)^2\geqslant \left( \frac13\left( \frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2} \right) \right)^5,\]
于是
\[\frac1{a^5}+\frac1{b^5}+\frac1{c^5}\geqslant \sqrt{\frac1{3^3}\left( \frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2} \right)^5}\geqslant \sqrt{\frac1{3^3}\left( \frac1{ab}+\frac1{bc}+\frac1{ca} \right)^5}=\frac3{\sqrt{(abc)^5}},\]
令 $\sqrt{abc}=t$，则
\[\frac1{a^5}+\frac1{b^5}+\frac1{c^5}+\frac52a^3b^3c^3\geqslant \frac3{t^5}+\frac52t^6=\frac12\biggl( {\underbrace{\frac1{t^5}+\frac1{t^5}+\cdots +\frac1{t^5}}_{6\text{个}}}+{\underbrace{t^6+t^6+\cdots +t^6}_{5\text{个}}} \biggr)\geqslant\frac{11}2.\]

力工

回复 2# kuing
Orz!!! 我还以为可以均值呢。如果改成+2(abc)^3呢？

kuing

回复 3# 力工

不是系数越大越强吗？

其妙

回复 2# kuing
牛笔！
已知$a,b,c$ 是正实数，且$a+b+c=3$ ，求$k$的最大值，使不等式\[\frac{1}{{{a^5}}} + \frac{1}{{{b^5}}} + \frac{1}{{{c^5}}} + k{a^3}{b^3}{c^3} \geqslant k+3\] 恒成立.

猜想$k_{\max}=\dfrac52$.

其妙

回复  kuing
Orz!!! 我还以为可以均值呢。如果改成+2(abc)^3呢？
力工 发表于 2014-3-18 14:12

的确可以均值，

kuing

回复  kuing
牛笔！
已知$a,b,c$ 是正实数，且$a+b+c=3$ ，求$k$的最大值，使不等式\[\frac{1}{{{a^5}}} + \frac{1}{{{b^5}}} + \frac{1}{{{c^5}}} + k{a^3}{b^3}{c^3} \geqslant k+3\] 恒成立.

猜想$k_{\max}=\dfrac52$.
其妙 发表于 2014-3-18 16:41

直觉告诉我这个 k 应该还可以再大不少，因为 $1/a^5+1/b^5+1/c^5$ 是个比较大的量，我上面的放缩都很松，只要再收紧些，系数就可以更大，肯定不止 5/2。

kuing

玩最佳系数，那些 5 次方就不再是纸老虎了。

其妙

回复 8# kuing
我想了很久才把$k$从$2$提高到$\dfrac52$，所以才提此猜想。看看$k=3$可行不？
切比雪夫和幂平均知道一点，但从未玩过。

kuing

回复 9# 其妙

刚才用软件测试了一下，k=9 成立，10 就不成立…… 虽然是大了些，但还没有我直觉想的大，我以为可以二三十……

其妙

回复 10# kuing
现在觉得你的感觉太好了！我也觉得k可以 再大一点，但发现5/2刚刚好。就乱猜了一下，

其妙

这里来了，blog.sina.com.cn/s/blog_630088e00101qv58.html

isee

为嘛看不懂不等式呢，以前不懂，现在更不懂了

kuing

回复 12# 其妙

不会吧……如此弱也能上《数学通讯》？……

isee

回复 14# kuing


    也许，这就叫此一时彼一时吧；以前的核心数学期刊，现在，就我看懂的内容来说，是相对有些缩水，或者说没有太多自己的东西

kuing

而且系数为 2 的时候也不需要用幂平均，只要切比雪夫和均值，简洁些

longzaifei

回复  其妙

刚才用软件测试了一下，k=9 成立，10 就不成立…… 虽然是大了些，但还没有我直觉想的 ...
kuing 发表于 2014-3-18 17:50

问下K哥，用什么软件测试的。

kuing

回复 17# longzaifei

bottema2009（在 maple 平台上）

其妙

1、blog.sina.com.cn/s/blog_630088e00101qvak.html
2、blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650101qemg.html
3、artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=581238
4、artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=581126
5、blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101iuoi.html
上面的链接居然和我同样的给出了一个猜想（求k的最大值），只是我猜想为5/2.
看来kk的论坛，sqing和anzp也经常光顾啊！

kuing

回复 19# 其妙

不必“居然”，这是很自然的想法，因为原不等式实在太弱，自然会想加强它，系数加强是最常用的办法。可惜尽管原题简单，但涉及最佳系数后有时会变得很困难，我基本上都想放弃玩它了……