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★Miss ****★ 1:19:56
求教第5题
题目：（江门市 2013 届高三 2 月高考摸拟）观察下列各式：$5^2-1=24$, $7^2-1=48$, $11^2-1=120$, $13^2-1=168$……，所得结果都是 $24$ 的倍数。依此类推：$\forall n\in\mbb N^+$，____是 $24$ 的倍数。（本题填写一个适当的关于的代数式即可）
话说，数论真的不熟，下面的玩法估计是笨方法……
解：设 $24p=f^2-1$，其中 $p$, $f\in\mbb N^+$。
显然 $f$ 必为奇数，设 $f=2h+1$，其中 $h\in\mbb N^+$，则 $6p=h(h+1)$，可见 $3$ 必能整除 $h$ 或 $h+1$，即 $h=3g$ 或 $h=3g-1$，其中 $g\in\mbb N^+$（下同）。
反之，若 $h=3g$，则 $2p=g(3g+1)$，因为 $g$ 和 $3g+1$ 必然一奇一偶，故 $p$ 有解；若 $h=3g-1$，则 $2p=(3g-1)g$，同样 $g$ 和 $3g-1$ 必然一奇一偶，故 $p$ 亦有解。
综上所述，满足 $6p=h(h+1)$ 的所有正整数 $h$ 为 $h=3g$ 或 $h=3g-1$，即满足 $24p=f^2-1$ 的所有正整数 $f$ 为 $6g+1$ 或 $6g-1$，因此答案为 $(6n+1)^2-1$ 或 $(6n-1)^2-1$。 |
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其妙
Post time 2014-3-22 14:16
