群里某人问的一个IMO题

战巡

$m,n$都为正整数且$n>m$，若$1978^m$和$1978^n$的十进制表示法的末三位数字相同，试求满足此条件并使$m+n$达到最小的$m$与$n$

$1978^m$和$1978^n$末三位相同，说明有：
\[1978^n-1978^m \mod 1000 =0\]
\[1978^m(1978^{n-m}-1) \mod 1000=0\]
由于$n>m$，$1978^{n-m}-1$肯定是奇数，而$1978^m$肯定为偶数，又$1000=2^3·5^3$，因此有：
\[1978^m \mod 2^3=0,  1978^{n-m}-1 \mod 5^3=0\]
由此可知$m\ge 3$
另外由于$1978^{n-m}-1 \mod 125=0$，可知$1978^{n-m}$的个位为$6$，也就是$n-m \mod 4=0$，令$n-m=4k$，有：
\[1978^{4k}-1 \mod 125=(16·125-22)^{4k}-1 \mod 125=22^{4k}-1 \mod 125=(1874·125+6)^k-1 \mod 125=6^k-1 \mod 125\]
\[=(5+1)^k-1 \mod 125=\sum_{i=0}^kC^i_k·5^i-1 \mod 125=C^2_k·5^2+C^1_k·5 \mod 125=0\]
\[\frac{(5k+3)k}{2} \mod 25=0\]
这其中由于$5k+3$没理由是$5$的倍数，只能是$k \mod 25=0$，其中$k=25$为满足条件的最小值
因此$n-m=4k\ge 25·4=100$，$n\ge 100+m\ge 100+3=103$，$n+m\ge 106$

爪机专用

那人是小o

其妙

1978年的IMO？