转一个不等式2

realnumber

苏州褚小光(39------18) 11:02:53

【LV5】马鞍山 孙世宝(45-----03) 2014-3-24 16:30:04
解：a^3+b^3>=1/2*(a+b)(a^2+b^2)
       =1/2*(a+b)c^2,
k>=1/2^(1/a+1/b)*sqrt(a^2+b^2)
   +(a^2+b^2)/ab>=sqrt2+2

kuing

第一个解答看上去是为了配方而配方……
第二个解答可以写得更好点：
\begin{align*}
\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}&\geqslant \frac{\frac12(a+b)(a^2+b^2)+c^3}{abc} \\
& =\frac{\frac12(a+b)c^2+c(a^2+b^2)}{abc} \\
& =\frac12\left( \frac1a+\frac1b \right)\sqrt{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{ab} \\
& \geqslant \frac1{2\sqrt2}\left( \frac1a+\frac1b \right)(a+b)+\frac{a^2+b^2}{ab} \\
& \geqslant \sqrt2+2 \\
\end{align*}

其妙

还可以先必要性，猜得最大的$k$值：$k=2+\sqrt2$，然后再证明之。
取$a=b=1,c=\sqrt2$，则$k\leqslant2+\sqrt2$，
再证明$a^3+b^3+c^3\geqslant(2+\sqrt2)abc$即可。
如果感觉不好证明，那么三角换元是可行的吧。

其妙

回复 3# 其妙
这次感觉还真的对了：wenku.baidu.com/link?url=pUcjeoOk_v7rioB2YR1E … TF_OiWAxgWOneIfFoaJe

hbghlyj

其妙 发表于 2014-3-24 16:16
回复 3# 其妙
这次感觉还真的对了：wenku.baidu.com/link?url=pUcjeoOk_v7rioB2YR1E … TF_OiWAxgWOneIfFoaJe

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