三角函数求最值

007

设$\theta \in \left [0,2\pi \right]$.(1)求 $\left | \sin ^2 \theta \sin 2\theta \right |$的最大值；(2)求证：$\sin ^2 \theta \sin ^2 2\theta\cdots\sin^2 2^n \theta  \leqslant \left (\frac34 \right)^n(n \in \mathbb{N})$。

其妙

第（1）问倒是很简单，先找耙柿子
$∣\sin^2θ\sin2θ∣=|2\sin^3θ\cosθ|=2\sqrt{\sin^6θ\cos^2θ}=2\sqrt{\sin^2θ\cdot\sin^2θ\cdot\sin^2θ\cdot3\cos^2θ\cdot\dfrac13}\leqslant\dfrac{3\sqrt3}8$
当$\theta=\dfrac{\pi}3$可以取等号。

hongxian

回复 1# 007


    只会第一问
令$x=\abs{\sin\theta}$
则$\abs{\sin^2\theta\cdot\sin2\theta}=2x^3\sqrt{1-x^2}=2\sqrt{\dfrac{x^2x^2x^2(3-3x^2)}{3}}\leqslant\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$($x=\dfrac{\sqrt3}{2}$时取$=$)

其妙

回复 1# 007
$\sin ^2 \theta \sin ^2 2\theta\cdots\sin^2 2^n \theta  \leqslant \left (\frac34 \right)^n(n \in \mathbb{N})$
设$u_n=\sin ^2 \theta \sin ^2 2\theta\cdots\sin^2 2^n \theta  $，可以证明$u_0\leqslant1$，$u_1\leqslant\dfrac{16}{27}$，
不知道我算错没有？

其妙

回复 4# 其妙
难道此不等式也许不能取等号？

kuing

回复 4# 其妙

没算错，看来都取不了等号……

kuing

话说，突然想先问清楚一个事儿：
$\sin^2\theta\sin^22\theta\cdots\sin^22^n\theta$ 到底是指 $\sin^2\theta\sin^22\theta\sin^23\theta\sin^24\theta\cdots\sin^22^n\theta$ 还是 $\sin^2\theta\sin^22\theta\sin^24\theta\sin^28\theta\cdots\sin^22^n\theta$？

其妙

回复 7# kuing
，[吓]我当成了后者！007是张琦老师吧？

kuing

回复 8# 其妙

我第一反应也是当成后者，不过刚才突然觉得前者也说得过去……

007

回复 8# 其妙


    是我哦。

007

回复 7# kuing


    是后者。此题的出现使得我想起以前做的一道类似题，应该在人教论坛或kuing的前论坛答过，所以我把此题又发上来了……

其妙

回复  其妙


    是我哦。
007 发表于 2013-9-21 07:40

   

kuing

回复  kuing


    是后者。此题的出现使得我想起以前做的一道类似题，应该在人教论坛或kuing的前论坛答过 ...
007 发表于 2013-9-21 07:42

指的是这道吗？kuingggg.github.io/5d6d/thread-954-1-4.html