一道导数题

aishuxue

设函数$f(x)=ax+\sin x+\cos x$.若函数$f(x)$的图象上存在不同的两点$A,B$，使得曲线$y=f(x)$在点$A,B$处的切线互相垂直，求实数$a$的取值范围.

isee

有点意思，\[f(x)=ax+\sin x +\cos x =ax+\sqrt 2\sin(x+\frac \pi 4),\]
\[f'(x)=a+\sqrt 2 \cos(x+\frac \pi 4),\]
\[A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),x_1 \ne x_2,\]
\[f'(x_1)f'(x_2)=(a+\sqrt 2 \cos(x_1+\frac \pi 4))(a+\sqrt 2 \cos(x_2+\frac \pi 4))=-1,\]

这里接6楼，让$f'(x_1)f'(x_2)$的最小值小于$-1$即可








若 \[f'(x_1)f'(x_2)=-1,\]

展开整理成关于$a$二次方程，这种思路应该可以走下去   (实际行不通)
$\require{cancel} \xcancel {{a}(a+\sqrt 2 \cos(x_1+\frac \pi 4))(a+\sqrt 2 \cos(x_2+\frac \pi 4))=-1,}$
$\require{cancel} \xcancel {a^2+\sqrt 2 (\cos x_1'+\cos x_2')a+2 \cos x_1'\cos x_2'+1=0,}$
$\require{cancel} \xcancel {\Delta = 2(\cos x_1'+\cos x_2')^2 -8  \cos x_1'\cos x_2'-4\geqslant 0}$

isee

看6楼



数据还是比较好
$\require{cancel} \xcancel {(u+v)^2-4uv-2\geqslant 0}$
$\require{cancel} \xcancel {(u-v)^2-2\geqslant 0}$
$\require{cancel} \xcancel {(u-v+\sqrt 2)(u-v-\sqrt 2)\geqslant 0}$

即$\require{cancel} \xcancel { (\cos x_1'-\cos x_2'+\sqrt 2)(\cos x_1'-\cos x_2'-\sqrt 2)\geqslant 0}$

以下该 求 $\require{cancel} \xcancel {\cos x_1'-\cos x_2'=-2\sin \dfrac {x_1'+x_2'}2\sin \dfrac {x_1'-x_2'}2 }$的范围了，不好处理，打住

aishuxue

导数求错了吧！

isee

回复 4# aishuxue

是错了，少了系数，哈哈，改好了，卡住了，楼下继续

kuing

求导得 $f'(x)=a+\cos x-\sin x$，故 $f'(x)$ 的值域为 $\bigl[ a-\sqrt2, a+\sqrt2\bigr]$。

如果 $a-\sqrt2\geqslant0$ 或 $a+\sqrt2 \leqslant0$，则切线斜率恒非负或者恒非正，显然不会存在垂直的切线，故必先有 $-\sqrt2<a<\sqrt2$。

此时，对任意 $x_1$, $x_2\in\mbb R$ 且 $x_1\ne x_2$，易见 $f'(x_1)f'(x_2)$ 的值域为 $\bigl[\bigl(a-\sqrt2\bigr)\bigl(a+\sqrt2\bigr), \max\bigl\{\bigl(a-\sqrt2\bigr)^2,\bigl(a+\sqrt2\bigr)^2\bigr\}\bigr]$，从而存在垂直切线当且仅当 $\bigl(a-\sqrt2\bigr)\bigl(a+\sqrt2\bigr)\leqslant -1$，即 $-1\leqslant a\leqslant 1$。

isee

求导得 $f'(x)=a+\cos x-\sin x$，故 $f'(x)$ 的值域为 $\bigl[ a-\sqrt2, a+\sqrt2\bigr]$。

如果 $a-\sq ...
kuing 发表于 2014-3-26 20:10

kuing  一出手就没了

aishuxue

谢谢！

kuing

回复 7# isee

但愿没做错……

isee

回复 9# kuing


    没错，只要计算不错，绝对正确，换个思路，很顺畅。

isee

回复 9# kuing


    \xcancel{...} ，没有了？

kuing

回复 11# isee

什么？

isee

回复 12# kuing

删除线 kkkkuingggg.haotui.com/viewthread.php?tid=75&page=1#pid4060

$\require{cancel}\cancel kuing + \cancel{kuing}+\bcancel{kuing}+\xcancel{kuing}+\cancelto{kkkk}{kuing}+\cancelto kuing$

kuing

回复 13# isee

链接中前两行不是讲了吗？默认没加载它，要用时自己加载啊

isee

回复 14# kuing

\require{cancel} 原来这样啊，学习了，看不懂，现在明白了

战巡

回复  kuing

删除线

$\require{cancel}\cancel kuing + \cancel{kuing}+\bcancel{kuing}+\xcancel{kuin ...
isee 发表于 2014-3-26 22:01

感觉很有喜感

其妙

回复 16# 战巡

Tesla35

回复 13# isee

@kuing被X掉了

kuing

回复 18# Tesla35

嗯，还是自X

其妙

看看这里：blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101j2mu.html