目标函数最值

guanmo1

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2014-3-31 13:08 Upload

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realnumber

楼上的图片．

realnumber

对于任意给定的向量$\vv{OP}$,Q点沿$\vv{OP}$方向平移得到$\vv{OP}+\vv{OQ}$对应的点，所有的Q点构成的集合，即直线$2x+y=0$沿$\vv{OP}$方向平移得到$\vv{OP}+\vv{OQ}$对应的直线．
显然令$\vv{OP}=(0,1)$得到的直线能使$\abs{\vv{OP}+\vv{OQ}}$最小，
最小即为O到直线$2x+y=1$的距离．A

guanmo1

将目标函数写成|OP-OQ|=|PQ|，立知答案为A。

其妙

代数方法：设$P(x,y)，Q(-t,2t)$，则由柯西不等式可得，
$\abs{\vv{OP}+\vv{OQ}}=\sqrt{(x-t)^2+(y+2t)^2}=\sqrt{\dfrac{(2x-2t)^2}4+(y+2t)^2}\geqslant\sqrt{\dfrac{(2x+y)^2}{5}}\geqslant\sqrt{\dfrac{(x+y)^2}{5}}\geqslant\sqrt{\dfrac{1}{5}}$，

当且仅当$\dfrac{2x-2t}4=y+2t,x=0,x+y=1$，即$x=0,y=1,t=-\dfrac25$取等号，

此时$P(0,1),Q(-\dfrac25,\dfrac45)$.

realnumber

回复 4# guanmo1

果然巧妙．只要Q在一个有中心对称的图象上，先把这个图象平移到对称中心与原点重合，接下来就可以用４楼办法．

其妙

回复 4# guanmo1
你都知道答案了。

guanmo1

呵呵，后来想起来的

踏歌而来

学习了！

乌贼

过$P$作直线$2x+y=0$的平行线，$\abs{\vv{OP}+\vv{OQ}}$等价于两平行线上任两点的距离，其最小值即为点$P$到直线$2x+y=0$的距离，问题转化为求$P$到直线$2x+y=0$上任一点的距离。由图知$P(0,1)$时最小。

其妙

都比较喜欢数形结合法，

踏歌而来

回复 10# 乌贼


你也是我的偶像，第五个偶像。

其妙

回复 12# 踏歌而来
应该是第6个吧？