正四面体的主视图面积的最值

luren8asdf

任意放置的棱长为2的正四面体的主视图面积的最大值和最小值分别是多少？如何证明？

luren8asdf

参考答案是：（$\sqrt{2}$，2）

kuing

设此正四面体的四个顶点在平面 $\alpha$ 上的投影分别为 $A$, $B$, $C$, $D$。

先求最大值，由于投影出来的线段长总不会超过原先线段的长，所以 $A$, $B$, $C$, $D$ 任意两点之间的距离不超过 $2$。

正四面体投影出来的形状要么是三角形，要么是四边形。

如果是三角形，不妨设为 $\triangle ABC$，那么其面积 $S\leqslant AB\cdot AC/2\leqslant2$；

如果是四边形，不妨设为四边形 $ABCD$，那么其面积 $S\leqslant AC\cdot BD/2\leqslant2$。

综上可知总有 $S\leqslant2$，而易知当正四面体的某对对棱都平行于平面 $\alpha$ 时其投影面积为 $2$，所以最大值为 $2$。

kuing

最小值真不好整，你们也来玩……

kuing

顶一下

isee

乌贼，唉，潜水了呀，他应该有兴趣看看

其妙

回复 6# isee
你也是几何高手呀！
记得这题kk以前在人教解决了吧？

kuing

回复 7# 其妙

没有啊

乌贼

回复 6# isee
最近不在状态

isee

回复 7# 其妙


    这种题，对偶而言，智商不够啊。也不感兴趣，哈哈。

乌贼

当四面体其中一面与投影面垂直且垂直面三角形其中一边与投影面垂直时取得最小值。
怎么证明呀？此题有标准答案吗！

nijupeng

最大：平行光垂直于两条对菱，投影的面积
最小：平行光平行于一条菱，投影的面积