来自人教群的定长线段在坐标轴滑动且四端点共圆

kuing

学生-86鱼(1608******)  16:08:55

不妨设四点的坐标为 $(p,0)$, $(p+a,0)$, $(0,q)$, $(0,q+b)$，设圆心坐标为 $(x,y)$，则显然有
\[x=p+\frac a2, y=q+\frac b2,\]
因为四点共圆，由圆幂定理知
\[p(p+a)=q(q+b),\]
代入整理即得
\[x^2-y^2=\frac{a^2}4-\frac{b^2}4.\]

其妙

怎么做的这么爽啊！，

其妙

设四点$A,B,C,D$共圆的方程为$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，令$y=0$得到，$x^2+Dx+F=0$的两根之差的绝对值$|x_1-x_2|=a$，

即$|x_1-x_2|=\sqrt{D^2-4F}=a$，于是$D^2-4F=a^2$，

同理，$E^2-4F=b^2$，两式相减得，$D^2-E^2=a^2-b^2$.

由圆心坐标公式可得，$x=-\dfrac D2,y
=-\dfrac E2$，故$x^2-y^2=\dfrac{a^2}4-\dfrac{b^2}4$.