$\sin A +\sin B +\sin C \leqslant 3\sin \frac {A+B+C}3$ 顺收集

isee

题目：$A,B,C\in (0,\mathrm {\pi})$，求证：\[\sin A +\sin B +\sin C \leqslant 3 \sin \frac {A+B+C}3.\]







困扰好久了，网上常见到是凸函数或者什么嵌入不等什么来着，有点“高端”，中学生难以接受。

寻寻有没有，像这种

\begin{align*}
\sin x\sin y\sin z & =\frac12\bigl(\cos (x-y)-\cos (x+y)\bigr)\sin z \\
& =\frac12\cos (x-y)\sin z-\frac12\sin ^2z \\
& \leqslant\frac12\sin z-\frac12\sin ^2z \\
& =-\frac12\left( \frac12-\sin z \right)^2+\frac18 \\
& \leqslant\frac18
\end{align*}

朴素的证明，谢谢，先






果然寻得，这也从侧面说明网上为什么流传前面所说的证明方法的；不容易啊。


证明 by  realnumber （添项）

\begin{align*}
\sin A +\sin B +\sin C &\leqslant 3 \sin \frac {A+B+C}3\\
\iff \sin A +\sin B +\sin C + \sin \frac {A+B+C}3 &\leqslant 4\sin \frac {A+B+C}3\\[2em]
\because (\sin A+\sin B )+\left(\sin C+\sin \frac {A+B+C}3\right) &\leqslant 2\sin \frac{A+B}2 + 2\sin \frac{C+\frac{A+B+C}{3}}2\\
&\leqslant 4\sin \frac{ A+B + C+\frac{A+B+C}3}4\\
&=4\sin \frac{A+B+C}3\\[2ex]
\therefore\sin A +\sin B +\sin C &\leqslant 3 \sin \frac {A+B+C}3\\
\end{align*}

kuing

右边打少了一个3

还是和差积互化的应用啊。

令 $A+B+C=m$，由对称性不妨设 $C=\min \{A,B,C\}$，则 $C\leqslant m/3$，由和差化积有
\[\sin A+\sin B+\sin C=2\cos \frac{A-B}2\sin \frac{A+B}2+\sin C\leqslant 2\sin \frac{m-C}2+\sin C,\]
令
\[f(C)=2\sin \frac{m-C}2+\sin C,\]
求导得
\[f'(C)=-\cos \frac{m-C}2+\cos C=2\sin \frac{m-3C}4\sin \frac{m+C}4\geqslant 0,\]
于是
\[f(C)\leqslant f\left( \frac m3 \right)=2\sin \frac{m-\frac m3}2+\sin \frac m3=3\sin \frac m3,\]
即得
\[\sin A+\sin B+\sin C\leqslant 3\sin \frac{A+B+C}3.\]

realnumber

模仿
$a,b,c\in R+,a^2+b^2\ge 2ab,a^3+b^3+c^3+abc=(a^3+b^3)+(c^3+abc)\ge 4abcd$
先证明：$x,y\in (0,\pi),有\sin{x}+\sin{y}\le 2\sin{\frac{x+y}{2}}$
由上面一个处理
$(\sin{A}+\sin{B})+(\sin{C}+\sin{\frac{A+B+c}{3}})\le 2\sin{\frac{A+B}{2}}+2\sin{\frac{C+\frac{A+B+C}{3}}{2}}\le 4\sin{\frac{A+B+C}{3}}$

kuing

回复 3# realnumber

嗯，琴生不等式的反向归纳证明也就类似于这种意思

realnumber

恩．
kk能忍受标题少了个3，我觉得isee不会介意的．

kuing

回复 5# realnumber

就算不是少了个3，主楼楼主肯定也会更新，所以楼主自己会修改嘀。

其妙

回复  realnumber

嗯，琴生不等式的反向归纳证明也就类似于这种意思
kuing 发表于 2014-4-6 13:13

留空回填法，先证明命题对$2^n$成立。

kuing

回复 7# 其妙

居然还有这名字？

isee

把3加了    厉害厉害  了得了得

其妙

回复 8# kuing
叶军书起的名字，意思是在$1,2,4,8,16,\cdots,2^n,\cdots$等等这些$2$的幂之间有很多空隙，然后在回填这些空隙（先证明这些$2$的幂成立后，再回填空隙），

kuing

回复 10# 其妙

明明就叫反向归纳法……

realnumber

回复 11# kuing

觉得还是10楼名字有道理，总体没反向。

kuing

令 $A+B+C=m$，由对称性不妨设 $C=\min \{A,B,C\}$，则 $C\leqslant m/3$，由和差化积有
\[\sin A+\sin B+\sin C=2\cos \frac{A-B}2\sin \frac{A+B}2+\sin C\leqslant 2\sin \frac{m-C}2+\sin C,\]
令 ...
kuing 发表于 2014-4-6 00:46

如果 $m=\pi$，则还有经典的均值方法
\begin{align*}
\sin A+\sin B+\sin C&=2\cos\frac{A-B}2\sin\frac{A+B}2+\sin C\\
&\leqslant 2\cos\frac C2+\sin C\\
&=2\cos\frac C2\left(1+\sin\frac C2\right)\\
&=2\sqrt{\left(1-\sin^2\frac C2\right)\left(1+\sin\frac C2\right)^2}\\
&=\frac2{\sqrt3}\sqrt{\left(3-3\sin\frac C2\right) \left(1+\sin\frac C2\right)\left(1+\sin\frac C2\right)\left(1+\sin\frac C2\right)}\\
&\leqslant\frac2{\sqrt3}\cdot\frac1{16}\left( 3-3\sin\frac C2 + 1+\sin\frac C2 + 1+\sin\frac C2 + 1+\sin\frac C2 \right)^2\\
&=\frac{3\sqrt3}2.
\end{align*}
不知能否移植到 $m\ne\pi$ 的情况上？

kuing

回复 13# kuing

PS、用这个方法可以证明：若 $A+B+C=n\pi$, $n\in\mbb Z$，则 $\abs{\sin A+\sin B+\sin C}\leqslant 3\sqrt3/2$。

其妙

回复 13# kuing
我也想发这个经典的“A-B均值法”的，因为楼主不是 在三角形里，就算了，也有人称为“B-C方法”。