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\[a_n<\sqrt[3]{3n}+\frac1{\sqrt[3]{3n}}.\]
虽然得不出#2的题，不过这结果胜在形式还蛮漂亮，所以还是写一下证明。
还是用归纳法了，当 $n=1$, $2$ 时直接验证知成立，假设 $n=k$ 时成立，这里的 $k$ 是不小于 $2$ 的某个整数，则当 $n=k+1$ 时，由于函数 $x+1/x^2$ 在 $\bigl(\sqrt[3]2,+\infty \bigr)$ 上单调增，而当 $k\geqslant 2$ 时 $a_k>\sqrt[3]2$，故此
\[
a_{k+1}=a_k+\frac1{a_k^2}<\sqrt[3]{3k}+\frac1{\sqrt[3]{3k}}+\frac1{\left( \sqrt[3]{3k}+\frac1{\sqrt[3]{3k}} \right)^2},
\]
所以只需证
\[\sqrt[3]{3k}+\frac1{\sqrt[3]{3k}}+\frac1{\left( \sqrt[3]{3k}+\frac1{\sqrt[3]{3k}} \right)^2}< \sqrt[3]{3k+3}+\frac1{\sqrt[3]{3k+3}}.\quad(*)\]
为方便书写，下面记 $x=\sqrt[3]{3k}$, $y=\sqrt[3]{3k+3}$，则 $y^3=x^3+3$，那么
\begin{align*}
(*) &\iff y+\frac1y>x+\frac1x+\frac1{\left( x+\frac1x \right)^2} \\
&\iff \frac{(y-x)(xy-1)}{xy}>\frac{x^2}{(x^2+1)^2} \\
&\iff \frac{(y^3-x^3)(xy-1)}{xy(x^2+xy+y^2)}>\frac{x^2}{(x^2+1)^2} \\
&\iff \frac{3(xy-1)}{x^3y+x^2y^2+x(x^3+3)}>\frac{x^2}{(x^2+1)^2} \\
&\iff x(x^4-x^3y+3x^2+3)(y-x)+3(x^3y-x^3-x^2-1)>0,
\end{align*}
显然有
\[(x^2+3)^3>x^3(x^3+3)\iff x^2+3>xy \riff x^4-x^3y+3x^2+3>0,\]
又由 $k\geqslant 2$ 得 $x\geqslant \sqrt[3]6>3/2$, $y\geqslant \sqrt[3]9>2$，于是
\[x^3y-x^3-x^2-1>x^3-x^2-1>\frac{x^2}2-1>\frac98-1>0,\]
所以式(*)成立，由数归知得证。
令 $n=9000$，得
\[a_{9000}<30+\frac1{30}=30.0\dot3.\] |
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其妙
发表于 2014-4-6 17:32
kuing
发表于 2014-4-6 23:01
，怎么做到的？全然没有思路．
