一道数列试题

aishuxue

在数列$\{a_n\}$中,已知$a_1=1,a_{2k}=-a_k,a_{2k-1}=(-1)^{k+1}a_k,k \in N^*$,记数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$.
证明:对任意$n\in N^*,S_n\geqslant0$.

tommywong

把n写成二进制，通项为
$a_{(c_mc_{m-1}...c_0)_2}=(-1)^{c_1c_0+c_2c_1+...+c_mc_{m-1}+m}$
（用不上吧）

realnumber

问题:$a_1=1$, $a_{2k}=-a_k$, $a_{2k-1}=(-1)^{k+1}a_k$，证 $S_n\geqslant0$。
解:$a_{4k}=-a_{2k}=a_k,a_{4k-2}=-a_{2k-1},a_{4k-3}=a_{2k-1},a_{4k-1}=-a_{2k}=a_k$,得到$S_{4k}=2S_k$.
易得$S_1,S_2,S_3,S_4\ge0$.
假设使得$S_n<0$的最小$n=n_0$(容易得出$S_{n_0}=-1,S_{n_0-1}=0,S_{n_0-2}=1,a_{n_0}=-1,a_{n_0-1}=-1$),
1.若$n_0=4k$,由$S_{4k}=2S_k<0$,与$4k$最小矛盾.
2.若$n_0=4k+2$,$S_{4k+2}=S_{4k}+a_{4k+1}+a_{4k+2}=S_{4k}<0$,这与$4k+2$最小矛盾.
3.若$n_0=4k+3$,$S_{4k+3}=S_{4k}+a_{4k+1}+a_{4k+2}+a_{4k+3}=S_{4k}+a_{4k+3}=2S_{k}+a_{k+1}=S_{k+1}<0$,这与$4k+3$最小矛盾.(说明$a_{4k+1}+a_{4k+2}=-a_{2k-1}+a_{2k-1}=0,a_{4k+3}=a_{k+1}=-1,S_{4k}=0=S_k$.)
4.若$n_0=4k+1$,则$a_{4k+1}=-1,S_{4k+1}=-1,S_{4k}=0=S_{k}$,如此,推测出$k$必定为偶数(因为{$a_n$}由$1,-1$组成,若$k$为奇数,则$S_{k}$不为零.ps,也可以用这个办法来处理1.2.两条.),$a_{4k+1}=-1=a_{2k+1}=(-1)^ka_{k+1}=a_{k+1}$,那么$S_{k+1}=S_{k}+a_{k+1}=-1<0$,与$4k+1$最小矛盾.
kkkkuingggg.haotui.com/thread-1182-1-1.html

战巡

回复 3# realnumber


果然..........
一开始想到的就是这种分四类讨论的办法，后来果断觉得太麻烦就懒得写了