数列放缩题

等待hxh

（此题我已证明，但证明过程比较复杂，希望能学习简洁的证明)

kuing

$f(x)=x^3+x/n-1$，则 $f(x)$ 递增，$f(0)<0<f(1)$，故 $0<a_n<1$，从而
\[\frac1{(k+1)^2a_k}=\frac{a_k^2+\frac1k}{(k+1)^2}<\frac{1+\frac1k}{(k+1)^2}=\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1},\]
下略

等待hxh

谢谢kuing，kuing能否看下我发的另外两个数列题，那两题我还没搞定！

kuing

回复 3# 等待hxh

看肯定会看，搞定了自然也会发答案……

isee

变态的一组题，一个不会

其妙

回复 1# 等待hxh
请传上你的证明

kuing

原来旧论坛也出现过这道题 kkkkuingggg.haotui.com/thread-641-1-7.html

第一章

印象中广州2013年二模考过一个类似的：
已知$a_n$是函数$f(x)=x^3+na_n-1$的零点，$n\in N^*$
(1)求证：$0<a_n<1$；
(2)求证：$\frac{n}{n+1}<a_1+a_2+\cdots+a_n<\frac{3}{2}$.