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话说刚才在某教师群中：
阳江谭老师(4974*****) 17:53:58
继续求帮忙: 在区间 (0,3) 上任取一数 x, 并在区间 (x,3) 上任取一数 y, 则事件 |x-y|<1 的概率是为:
阳光(1147******) 17:55:58
0<x<3
x<y<3
华附黄老师(4112****) 17:57:01
是不是5/9
阳光(1147******) 17:57:28
我没有算
阳江谭老师(4974*****) 17:57:32
是5/9
梅州卜Sir(2503******) 17:57:52
是5/9
广州kuing 17:59:34
我看是 (1 + ln3)/3
阳江谭老师(4974*****) 18:05:44
?
广州kuing 18:11:42
都觉得是 5/9 ？
没人觉得是 (1 + ln3)/3 ？
这道题跟之前我在《数学空间》2013 年第 4 期 总第 14 期 中写过的《一道构成三角形概率题的错解》里面的问题类似，这题还更简单些。
他们说的 5/9 大概也是在坐标系里面图用面积比算出来的，于是其错误也跟文中的一样。
正确的解法我还是要用积分了。
设 $[t,t+{\rmd t}]$ 是 $(0,3)$ 里的一个微细区间，$x$ 落在 $[t,t+{\rmd t}]$ 上的概率是 $\rmd t/3$。
如果 $t\geqslant 2$，则显然无论 $y$ 如何取都满足 $\abs{x-y}<1$；
如果 $0<t<2$，在 $(x,3)$ 上取的 $y$ 且满足 $\abs{x-y}<1$ 的概率是 $1/(3-x)$，因为区间是微细的，这一步的概率可以看作 $1/(3-t)$。
因此，所求的概率为
\[\int_2^3\frac{\rmd t}3+\int_0^2\frac1{(3-t)}\frac{\rmd t}3=\frac{1+\ln3}3\approx 0.6995.\]
自然地，肯定大把人仍然不信服这结果，而我的表达能力有限，于是又要靠程序了。
在 Mathematica 中，用以下程序
n = 100000;
i = 0;
Do[{
x = RandomReal[{0, 3}];
y = RandomReal[{x, 3}];
If[Abs[x - y] < 1, i++];
}, {n}]
N[i/n]
可以模拟本题中的情况，其中 RandomReal[{a, b}] 表示取 a 到 b 之内的随机数。
运行了多次，得出的数值都很接近 0.7 ，而不曾接近 5/9（0.555...） |
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