把几何题改成这样也够狠的

isee

2014年4月海淀一模理科数学第14题（很高兴，我第一次，终于有机会，秒了海淀高三一模压轴填空题）


已知向量序列：$\vv {a_1},\vv {a_2},\vv {a_3},\cdots,\vv {a_n},\cdots$，满足如下条件：


$\abs{\vv {a_1}}=4\abs{\vv d}=2,2 \vv {a_1}\cdot \vv d=-1$， 且$\vv {a_n}-\vv {a_{n-1}}=\vv d(n,=2,3,4,\cdots)$.


若$\vv a_1 \cdot  \vv a_k=0$，则$k=$____；

$\abs{\vv {a_1}},\abs{\vv {a_2}},\abs{\vv {a_3}},\cdots,\abs{\vv {a_n}},\cdots$中第_____项最小.










反白答案
9,3

乌贼

$k=9$，第$3$项。

isee

回复 2# 乌贼


    94

不过，也可如数列一般迭代

乌贼

回复 3# isee
不知道什么是迭代

其妙

我来代数解法：
易得$\vv{a_n}=\vv{a_1}+(n-1)\vv{d}$（累加法），故$\vv{a_1}\cdot\vv{a_k}=\vv{a_1}^2+(k-1)\vv{a_1}\cdot\vv{d}=4-\dfrac{k-1}{2}=0$，得到$k=9$。

又因为$|\vv{a_n}|^2=|\vv{a_1}|^2+2(n-1)\vv{a_1}\cdot\vv{d}+(n-1)^2|\vv{d}|^2=4-(n-1)+\dfrac14(n-1)^2$（此为关于$t=\dfrac{n-1}2$的二次函数），

故当$t=\dfrac{n-1}2=1$，即$n=3$时，$|\vv{a_n}|^2$取得最小值。