来自人教群的单位圆上两相关点的运动

kuing

若点P(x,y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点$M(-2xy,y^2-x^2)$也在单位圆上运动，其运动规律是( )
A.角速度ω，顺时针方向 B.角速度ω，逆时针方向
C.角速度2ω,顺时针方向 D.角速度2ω，逆时针方向

依题意可设 $P(\cos \omega t,\sin \omega t)$，则
\begin{align*}
-2xy&=-2\sin \omega t\cos \omega t=-\sin 2\omega t=\cos (-2\omega u), \\
y^2-x^2&=\sin^2\omega t-\cos^2\omega t=-\cos 2\omega t=\sin (-2\omega u),
\end{align*}
其中 $u=t-3\pi/(4\omega)$，即 $M\bigl( \cos (-2\omega u),\sin (-2\omega u) \bigr)$，故选 C。

乌贼

不懂角度转化，把$y$轴$OM$当夹角使用

kuing

教师-wwdwwd117(2365*****) 2014-4-10 10:51:19
这题基本是所有复变书的第一道例题
设z=x+yi，则z^2=(x^2-y^2)+2xyi,  进一步得 -i*z^2=-2xy+（y^2-x^2)i,根据乘法的意义故选C
教师-wwdwwd117(2365*****) 2014-4-10 11:03:13
改正：-i*（z^2的共轭）=-2xy+（y^2-x^2)i

isee

回复 3# kuing


    难怪复数与物理亲的

isee

还纳闷，这个点M也给得太巧了，也在单位圆上

kuing

回复 5# isee

就是两倍角的公式啊

其妙

回复 5# isee
$(x^2-y^2)^2+(2xy)^2=(x^2+y^2)^2=1$，所以，$(x^2-y^2,2xy)$也在单位圆上.

此恒等式的一些应用：（如果令$y=1$，则$(x^2-1)^2+(2x)^2=(x^2+1)^2$）

1、blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101hs3d.html
2、blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101elqh.html

史嘉

回复 7# 其妙

怎么找的，那么巧。

其妙

回复 8# 史嘉
搜索+记忆+……