简单双曲函数求最值问题

╰☆ヾo.海x

函数 $y=\cosh(x)[\sinh(x)+\dfrac{1}{\sinh(x)}]$，$x>0$，求最小值.
除了老早以前谁(2锅头?)教的说 先平方再配凑用AM-GM不等式解 外，还有什么别的好想一点的方法啊？

realnumber

如果设$t=e^{2x}>1$,那么\[y=0.5(t-\frac{1}{t})+\frac{2}{t-1}+1\]
求导后要解4次方程，表示不会了．

爪机专用

回复 1# ╰☆ヾo.海x

你记不记得是在哪讲的?? 单Q? 群?

kuing

搜到了，以下是粉丝群里 2013 年大光棍节凌晨的部分聊天记录（公式已重新录入为 LaTeX 代码）

【Lu死】kuing/fj/zhj 1:19:45
平方一下，全变成 sinh(x)^2 再均值
【中Lu】╰☆ヾo.海x(9349*****) 1:20:21
把整个函数都平方？
【Lu死】kuing/fj/zhj 1:20:27
是
当然不平方也可以，带根号而已
根据取等条件就可以得到那个值了
【中Lu】╰☆ヾo.海x(9349*****) 1:23:30
均值不等式是哪个。。。。。我这网速好慢啊啊
【Lu死】kuing/fj/zhj 1:23:38

【Lu死】kuing/fj/zhj 1:26:25
\[\cosh^2x\cdot\left(\sinh x+\frac1{\sinh x}\right)^2
=\frac{(\sinh^2x+1)^3}{\sinh^2x}
=\frac{(2\sinh^2x+1+1)^3}{8\sinh^2x}
\geqslant \cdots\]
get "=" when $2\sinh^2x=1$ i.e. $\sinh x=1/\sqrt2 \riff x=\cdots$
大概就这样，不解释了，自己看

其妙

回复 4# kuing
别人可能还搞不懂“Lu死”是啥子？

kuing

回复 5# 其妙

其实我有点奇怪，上面是去年的聊天记录，当时根本还没有群等级，但是现在翻看这段记录时竟然也标上了群等级，看来QQ对聊天记录重新处理过……