求最小值

依然饭特稀

求最小值

______kuing edit in $\mathrm\LaTeX$______
$abcd=1$，求 $(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd)_{\min}$。

kuing

\begin{align*}
& a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd \\
={}&\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+(a+b+c+d)^2}2 \\
\geqslant{}&\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}2 \\
\geqslant{}&2\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2} \\
={}&2,
\end{align*}
当 $a=b=1$, $c=d=-1$ 时取等。

其妙

我还默认是正数呢，
$a,b,c,d$是正数，可不可以做？有没有最小值？

realnumber

回复 3# 其妙


    那就简单了，直接均值．最小１0，此时a=b=c=d=1

其妙

回复 4# realnumber

详细一点：
\begin{align*}
& a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd  \\
={}&\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}2+\frac{a^2+2ad+d^2+b^2+2bc+c^2}2+ab+ac+bd+cd \\
={}&\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}2+\frac{(a+d)^2+(b+c)^2}2+(a+d)(b+c)\\
\geqslant{}&\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}2+|(a+d)(b+c)|+(a+d)(b+c) \\
\geqslant{}&\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}2 \\  
\geqslant{}&2\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2} \\
={}&2，
\end{align*}

kuing

回复 3# 其妙

正数就不会有人问了……

其妙

回复 6# kuing
我想复杂了，准备用马克劳林，一下子得到结果，