用数学归纳法怎么证

史嘉

已知$x_n=2^{n-1}/(2^{n-1}+1)$,
求证$x_1+x_2+···+x_n>n-2$.

其妙

回复 1# 史嘉
可以加强一下命题吧，

kuing

我只记得这个用柯西不等式证得简单……

tommywong

$\displaystyle \sum_{r=1}^n \frac{2^{r-1}}{2^{r-1}+1} \ge \frac{n^2}{n+2-2^{1-n}}=n-2+2^{1-n}+\frac{(2-2^{1-n})^2}{n+2-2^{1-n}}$

realnumber

\[\frac{2^{n-1}}{2^{n-1}+1}=1-\frac{1}{2^{n-1}+1}\]
问题等价于
\[\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2+1}+\frac{1}{2^{2}+1}+...+\frac{1}{2^{n-1}+1}<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}<2\]
按2楼提议，用数学归纳法证明
\[\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2+1}+\frac{1}{2^{2}+1}+...+\frac{1}{2^{n-1}+1}\le 2-\frac{1}{2^{n-1}}\]

realnumber

提问：估计1楼所证不等式左边的下界．

史嘉