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本贴源于 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=256 ，由于后来研究的问题与原贴的题并不相同，所以不便再继续贴出以下内容而只好另外发这贴。
设 $m$, $n\in\mbb N^+$ 且 $(n-1)m\geqslant3$，在实数范围内分解因式
\[f(x)=1+x^m+x^{2m}+x^{3m}+\cdots +x^{(n-1)m}.\]
先约定记号，记集合 $A$ 与 $B$ 的集合差为 $A\setminus B=\{x\mid x\in A\wedge x\notin B\}$，高斯函数 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。
记
\[z_k=\cos\frac{2k\pi}{nm}+i\sin\frac{2k\pi}{nm},\]
则易证
\[z_kz_{nm-k}=1, z_k+z_{nm-k}=2\cos\frac{2k\pi}{nm},\]
设
\begin{align*}
U&=\{0,1,2,\ldots ,nm-1\}, \\
V&=\left\{ 0,1,2,\ldots ,\left[ \frac{nm}2 \right] \right\}, \\
W&=\{0,n,2n,\ldots ,(m-1)n\},
\end{align*}
那么在复数范围内满足 $z^m\ne1$ 且 $z^{nm}=1$ 的所有根为 $z_k$, $k\in U\setminus W$，因此
\[f(x)=\frac{1-x^{nm}}{1-x^m}=\prod_{k\in U\setminus W}(x-z_k),\]
若 $m$ 为奇数且 $n$ 为偶数，设 $nm=2p$，则易知 $p\in V$ 且 $p\notin W$，再注意到 $z_p=\cos\pi+i\sin\pi=-1$，则此时有
\[f(x)=(x-z_p)\prod_{k\in V\setminus W\setminus \{p\}}(x-z_k)(x-z_{nm-k})=(x+1)\prod_{k\in V\setminus W\setminus \{p\}}\left( x^2-2x\cos\frac{2k\pi}{nm}+1 \right);\]
除此之外，都有
\[f(x)=\prod_{k\in V\setminus W}(x-z_k)(x-z_{nm-k})=\prod_{k\in V\setminus W}\left( x^2-2x\cos\frac{2k\pi}{nm}+1 \right).\] |
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，实数范围内分解，不可约因式只能是一次或二次，见过那二次多项式的一次系数是2倍余弦的。