函数图象问题的再探讨

踏歌而来

我曾在一个“请教大家 关于函数的一个概念”一帖中，对函数图象的平移做出过讨论。

今天，我又看到了一些函数题目，还是牵涉到 函数以及图象的一系列问题。我又重新进行了思考，并且查阅了大量资料。

上一帖子中，我曾提出疑问：
1、f(x+1)是f(x)向右移还是向左移？
2、如果f(x)=x，那么f(x+1)=?
3、如何作f(x+1)=x+2的图象？
现在增加几个问题：
4、如果f(x)是偶函数，那么f(x+1)还是偶函数吗？
5、如果f(x)的定义域是【1，10】，那么f(x+1)的定义域是什么？
6、有没有函数既是偶函数又是奇函数？

踏歌而来

上一次，我的结论是：
1、f(x+1)是向左移，移动一个单位。
2、f(x+1)=x+1 (恒等变换）
   f(x+1)=x+2 (向左平移）

那对不对呢？
如果对的话，我也不会再来探讨这个问题了。

踏歌而来

战巡指出的两点是对的：
1、f(x+1)=x+1与f(x)=x是同一个图象。
2、如果f(x)=x 就是从(−1,−1) 到(1,1) 的线段，
f(x+1)=x+1 变成(0,0) 到(2,2) 的线段。

踏歌而来

请大家看如下几张图吧：

原始图象（图A）

向右移动后的图象（图B）

向左移动后的图象（图C）

向上移动的图象（图D）

向下移动的图象（图E）

结论（图F）

踏歌而来

看了以上的图片，我做出了新的图片。


左移图象


右移图象

踏歌而来

由以上图象，我们有以下结论：

1、f(x)=x，则f(x+1)=x，表示右移。
2、f(x)是奇函数，那么f(x+1)、f(x-1)一定是奇函数。图象平移不改变奇偶性。
3、f(x+1)=x+2的图象是用(x+1,f(x+1))的方式表示的。

踏歌而来

回复 6# isee

在这里发帖，主要是给自己看的。
因为什么时候忘了，我再看看方便些。

至于我上面所提的问题，都是高中生做作业时常遇到的题目。
高中不讲复合函数。

踏歌而来

回复 6# isee

谢谢你！
我再补充一下，正确的答案应该是：

1、f(x+1)是f(x)向右移还是向左移？  函数向右平移
2、如果f(x)=x，那么f(x+1)=?        f(x+1)=x
3、如何作f(x+1)=x+2的图象？       以(x+1,f(x+1))方式描点作图

isee

原来说学生错误的理解呀，回复都删除了，没啥新观点

踏歌而来

回楼上，你可能以为我违背了“左加右减、上加下减”规则。
其实恰恰不是这样，我的做法恰恰印证那个规则的正确性。
后面我再解释。

isee

回复 10# 踏歌而来


    没这必要，反而引起大家误会

踏歌而来

回复 10# isee

高中生的正确理解应该就是我在8楼所指出的。

踏歌而来

$如果说 y=x 图象 向右移动 一个单位，那么表达式是什么呢？$
$毫无疑问，y=x-1，也可以通过笨办法用点斜式求出这个方程。$

$再看我前面的说法，右移一个单位 f(x+1)=x。$
$我们知道，在平面直角坐标系中用x、y表示图象的，$
$所以，我们通常转化为f(x)，然后描点（x，y）。$
$由f(x+1)=x  \Rightarrow f(x)=x-1 。$
$f(x)=x-1就是y=x-1。$

作图时，提倡直接用(x+1,f(x+1)) 即（x+1,y)描点，不必转换。

如果不能理解，先看一下4楼图B。
下面我接着解释，到底什么叫“左加右减、上加下减”？

kuing

回复  isee

在这里发帖，主要是给自己看的。
因为什么时候忘了，我再看看方便些。

至于我上面所提的问题 ...
踏歌而来 发表于 2014-4-11 17:44

既然是给自己看的，你干脆用一个word之类的自己写自己存起来就行了，这里也不保证不会有挂掉的一天。

踏歌而来

谢谢你的提醒！
我一方面是给自己看的，另一方面也是想与大家分享我的理解。

踏歌而来

这里先转录网上的一篇文章，《关于“左加右减，上加下减”》。

在学习二次函数的时候，我们知道，二次函数y=a(x-h)²+k的图像可以由二次函数y=ax²的图像平移得到。如下图：


图2的图像可以看做由图1的图像先向右平移1个单位长度，然后再向上平移2个单位长度得到，从表达式上来看，h减1，k加2。经过一些作图实验，最后我们总结得到：

图像向左平移则h加，向右平移则h减。（即“左加右减”）

图像向上平移则k加，向下平移则k减。（即“上加下减”）

反之亦然！

踏歌而来

从转述的文章中，我们可以看到，“左加右减，上加下减”是针对函数解析式的，
而非自变量表达式。

f(x)=x
f(x)=x-1  向右移动1
是指自变量不变，还叫x，改变右边的解析式。

作为对比的，f（x+1）=x，是指解析式不变，而改变自变量的表述方式，即由x变为x+1。

综上所述，图象的移动，其对应的函数可以有两种表示方式:
一种就是 改变 解析式。
一种就是 改变 自变量的表述方式。

踏歌而来

哪种函数既是奇函数，又是偶函数？
这个简单，我们根据它们的定义就可推出。

下面直接转录网上的描述：
函数f(x)是奇函数--->f(-x)=-f(x)
函数f(x)是偶函数--->f(-x)=f(x)
--->-f(x)=f(x)
--->2f(x)=0
--->f(x)=0
所以，既是奇函数又是偶函数的函数f(x)是常函数f(x)=0.
但是函数的定义域是关于原点对称的开（闭）区间(a,-a),如【-1，1】等，不一定是x∈R。

踏歌而来

上面的奇偶性是严格根据书上的定义的，很严格，因此不妨说是狭义的奇偶性。

下面我来说说广义的奇偶性。
因为一道题中，总是既牵涉到狭义的奇偶性，又牵涉到广义的奇偶性。

y=x-1，它既是 奇函数，又不是奇函数。

说它不是奇函数，比较容易理解，因为教科书上就是这样定义的。

说它是奇函数，这也对，但它是指广义上的奇函数。

y=x-1，关于（1,0）点对称，所以它是一种奇函数。
先看：x=0时，y=-1，而x=2时，y=1，可见 关于（1,0）对称。
再看：x=-1时，y=-2，而x=3时，y=2，可见 也关于（1,0）对称。

也可以这么理解：
$f(x+1)=x$
$f(-x+1)=-x(将上式中的x换成-x)$
$f(x+1)=-f(-x+1)，$
$∴f(x+1)=x是一个对称于（1,0）的奇函数。$
$而f(x+1)=x\Rightarrow y=x-1，$
$∴ y=x-1是奇函数。$

踏歌而来

从广义上讲，线性函数都是 奇函数。

$f(x)=kx+b (k≠0)$
$f(x-\frac{b}{k})=k(x-\frac{b}{k})+b=kx （x用x-\frac{b}{k}代替）$
$f(-x-\frac{b}{k})=-kx                                  （x用-x代替）$
$∴f(x-\frac{b}{k})=-f(-x-\frac{b}{k})$
$∴ f(x-\frac{b}{k})=kx是奇函数，也就是f(x)=kx+b是奇函数。$

这样理解有什么好处呢？
后面请看一道题目。