请教一道不等式的证明

djjtyq

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_n+1=\frac{a_n^2}{a_n+1}(n\in \mathbb{N}^+)$.
证明:$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{1+a_k}<\frac{7}{8}$.

$a_n=\frac{1}{2^{2^{n-1}}}$，$\frac{a_n}{1+a_n}=(\dfrac{1}{2})^{2^{n-1}}$，

所以$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{a_k}{1+a_k}=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\dfrac{1}{2})^{2^{2}}+\cdots +(\dfrac{1}{2})^{2^{n-1}}$，至此该如何放缩?

战巡

回复 1# djjtyq


挺简单的吧..........
很容易证明$2^{n-1}\ge n$，因此...........

realnumber

多保留几项，后面放缩成等比数列，也许有别的办法.
\[n\ge 5,2^{n-1}=2^3\times (1+1)^{n-4}\ge 8(1+n-4)>n+4\]
\[n\ge5 ,2^{2^{n-1}}>2^{n+4}\]
\[左边>\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2^8}+\frac{1}{2^9}+\cdots+\frac{1}{2^{n+4}}\]
\[左边>\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2^7}-\frac{1}{2^{n+4}}>\frac{7}{8}\]

kuing

<3/4+(1/2)^4+(1/2)^5+(1/2)^6+...

djjtyq

明白了，按 2 楼、3 楼的思路，
$n\ge 4$ 时，$2^{n-1}=1+C_{n-1}^1+C_{n-1}^2+\cdots+C_{n-1}^{n-1}>n+1$，$n\ge 4$ 时，$(\dfrac{1}{2})^{2^{n-1}}<(\dfrac{1}{2})^{n+1}$，
再从第 4 项开始换为等比数列进行放缩。


______kuing edit in $\mathrm\LaTeX$______