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kuing
Posted 2017-8-24 04:24
闲来无事，翻个老帖，来一个超！级！暴！力！的切线法。
前面已经提到，主楼的题的原题其实就是：已知 $a$, $b>0$, $a^3+b^3\leqslant2$，求 $3a^4+3b^4+2a^4b^4$ 的最大值。
当 $a=b=1$ 时原式为 $8$，下面证明这就是最大值，而显然取最大值时必定有 $a^3+b^3=2$，因此只需证明如下命题：
若 $a$, $b>0$, $a^3+b^3=2$，则 $3a^4+3b^4+2a^4b^4\leqslant8$。
不等式等价于
\[(2a^4+3)(2b^4+3)\leqslant 25,\]
因为 $a^3<2$，故 $a<\sqrt[3]2<4/3$，下面证明，当 $x\in[0,4/3]$ 时恒有
\[\ln\frac{2x^4+3}5\leqslant -\frac{37500}{1630279}(x^3-1)^3+\frac8{15}(x^3-1). \quad(*)\]
令
\[f(x)=-\frac{37500}{1630279}(x^3-1)^3+\frac8{15}(x^3-1)-\ln\frac{2x^4+3}5,\quad x\in[0,4/3],\]
求导整理，事实上有
\begin{align*}
f'(x)={}&\frac{4x^2(x-1)(5x-3)}{1980788985(2x^4+3)}\cdot \bigl(252510665+(4-3x)(13668750x^7+40095000x^6+80250750x^5 \\
&+109406700x^4+154153395x^3+217338912x^2+211726893x+109322326)\bigr),
\end{align*}
由此可见，$f(x)$ 在 $(0,3/5)$ 上递增，在 $(3/5,1)$ 上递减，在 $(1,4/3)$ 上递增，所以有
\[f(x)\geqslant \min\{f(0),f(1)\}=\min\left\{ \ln\frac53-\frac{12479732}{24454185},0 \right\},\]
熟知
\[\ln\frac{1+t}{1-t}>2\left( t+\frac{t^3}3 \right),\quad t\in (0,1),\]
取 $t=1/4$ 即得
\[\ln\frac53>\frac{49}{96}>\frac{12479732}{24454185},\]
所以 $f(x)\geqslant 0$，式 (*) 成立，由此即得
\[\ln\frac{2a^4+3}5+\ln\frac{2b^4+3}5\leqslant -\frac{37500}{1630279}\bigl((a^3-1)^3+(b^3-1)^3\bigr)+\frac8{15}(a^3+b^3-2)=0,\]
即 $(2a^4+3)(2b^4+3)\leqslant 25$，所以原不等式获证。 |
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realnumber
Posted 2014-4-15 22:24
