求解两个方程题

等待hxh

（现在做这些题，我还没摸索出门路来，特别是第一题，像这种用反证法的题，总没找到矛盾之处）


______kuing edit in $\mathrm\LaTeX$______

题1：证明：若多项式 $x^4+ax^3+bx+c=0$ 的根均为实数，则 $ab\le 0$。

题2：求一切实数 $p$，使得三次方程 $5x^3-5(p+1)x^2+(71p-1)x+1-66p=0$ 的三个根均为自然数。

战巡

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第一题：

令：
\[x^4+ax^3+bx+c=(x^2+mx+n)(x^2+px+q)\]
而且根据多项式理论，它一定可以被分解为这种形式
展开有：
\[\begin{cases} a=m+p\\ n+mp+q=0\\ b=np+mq\end{cases}\]
然后
\[ab=(m+p)(np+mq)=mp(n+q)+np^2+m^2q\]
\[=-(mp)^2+np^2+m^2q\]
\[=p^2(n-\frac{m^2}{2})+m^2(q-\frac{p^2}{2})\]
由于方程全部为实根，有：
\[\begin{cases}m^2\ge 4n\\p^2\ge 4q\end{cases}\]
带入上面有
\[ab=p^2(n-\frac{m^2}{2})+m^2(q-\frac{p^2}{2})\le -p^2\frac{m^2}{4}-m^2\frac{p^2}{4}\le 0\]

其妙

第二题是高中数学联赛题吧？没记错的话，先找到一个根后，再分解，就变成二次方程的问题了吧？ 这个时候应该是属于初中范畴的了

等待hxh

谢谢高人解答，是不是对于所有的四次实系数多项式都能分解为两个二次实系数多项式之积？ 好像是的 如果有复根Z，那共轭根也是一个根，必然可以这么分解！

战巡

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第二题

\[5x^3-5(p+1)x^2+(71p-1)x+1-66p=(x-1)(5x^2-5px+66p-1)\]
剩下应该不用再说了   
最后得到$p=76$

战巡

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不仅如此，任意实系数$n$次多项式都可以分解为若干一次和二次实系数多项式的乘积

等待hxh

______kuing edit in $\mathrm\LaTeX$______

再问一个相关问题：比如我看到有这么一道题，这题简单，学生的难度

多项式 $p(x)=x^3-3x+1$，证明：若 $x=t$ 是 $p(x)$ 的一根，则 $x=t^2-1$ 也是一个根；

我对此题并没多大疑问，好奇的是 $p(x)=x^3+ax^2+bx+c$，若有一根实数根 $t$，那么怎样的 $g(t)$ 也是它的实数根呢？有相关理论吗？

kuing

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$p(t)=t^3-3t+1$, $p(t^2-2)=(t^3-3t+1)(t^3-3t-1)=p(t)(t^3-3t-1)$

选取的 $g(t)$ 要使得 $p(g(t))=p(t)q(t)$，即 $g(t)^3+ag(t)^2+bg(t)+c=(t^3+at^2+bt+c)q(t)$，然后就不知道了……

kuing

对了，为了方便日后搜索或存档，我编辑了一下你的贴子，将文字和公式打了上去。

等待hxh

谢谢kuing

hbghlyj

第１题的等价叙述:

实数$a,b,c,d$满足$a b + a c + a d + b c + b d + c d=0$, 求证$$(a + b + c + d) (a b c + a b d + a c d + b c d) \le 0$$

根据Newton's inequalities有$$(a + b + c + d) (a b c + a b d + a c d + b c d) \le \frac{4}{9}(a b + a c + a d + b c + b d + c d)^2 $$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2022-8-12 20:56
第１题的等价叙述:$a b + a c + a d + b c + b d + c d=0$

\begin{multline*}(a + b + c + d) (a b c + a b d + a c d + b c d) =\\-\frac{1}{4} (a+b)^2 (c-d)^2-\frac{1}{4} (a-b)^2
   (c+d)^2-\frac{1}{2} (a+b)^2 (c+d)^2\\+(a+b) (c+d) \cancel{(a b+a c+a d+b c+b d+c d)}\le0\end{multline*}