|
|
广州 Miss W***(4131****) 2014-4-18 12:08:45
【求教】
各位大侠谢谢~
我做得很复杂，大家也来看看有没有简单解法（先猜后证除外）。
下面是我的解法。
由 $a_{n+1}^2+a_{n+2}a_n=6^n$ 得
\[a_{n+2}^2+a_{n+3}a_{n+1}=6^{n+1}=6(a_{n+1}^2+a_{n+2}a_n),\]
即
\[a_{n+2}(a_{n+2}-6a_n)+a_{n+1}(a_{n+3}-6a_{n+1})=0,\]
先不顾有没有 $0$，将其变形为
\[\frac{a_{n+2}-6a_n}{a_{n+1}}+\frac{a_{n+3}-6a_{n+1}}{a_{n+2}}=0,\]
于是
\[\frac{a_{n+2}-6a_n}{a_{n+1}}=(-1)^{n-1}\frac{a_3-6a_1}{a_2},\]
容易计算出 $a_3=-19$，故
\[\frac{a_{n+2}-6a_n}{a_{n+1}}=(-1)^{n-1}\frac{-19-6}5=(-1)^n\cdot 5,\]
即
\[a_{n+2}-6a_n=(-1)^n\cdot 5a_{n+1},\]
注意到上式可以配凑为以下两式
\begin{align*}
a_{n+2}+2(-1)^{n+1}a_{n+1}&=3(-1)^n(a_{n+1}+2(-1)^na_n), \\
a_{n+2}+3(-1)^{n+1}a_{n+1}&=2(-1)^n(a_{n+1}+3(-1)^na_n),
\end{align*}
两式相除得
\[\frac{a_{n+2}+2(-1)^{n+1}a_{n+1}}{a_{n+2}+3(-1)^{n+1}a_{n+1}} =\frac32\cdot\frac{a_{n+1}+2(-1)^na_n}{a_{n+1}+3(-1)^na_n},\]
于是
\[\frac{a_{n+1}+2(-1)^na_n}{a_{n+1}+3(-1)^na_n} =\left( \frac32 \right)^{n-1}\frac{a_2-2a_1}{a_2-3a_1}=\left( \frac32 \right)^n,\]
整理得到
\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=(-1)^{n+1}\frac{3^{n+1}-2^{n+1}}{3^n-2^n},\]
所以
\[a_n=(-1)^n\frac{3^n-2^n}{3^{n-1}-2^{n-1}}\cdot (-1)^{n-1}\frac{3^{n-1}-2^{n-1}}{3^{n-2}-2^{n-2}}\cdots (-1)^2\frac{3^2-2^2}{3^1-2^1}\cdot a_1=(-1)^{n(n+1)/2-1}(3^n-2^n).\]
PS、上述结果经软件检验过前1000项均成立。 |
|
