一道圆锥曲线比例定值题

青青子衿

曲线$C_1$是以原点为中心，$F_1,F_2$为焦点的椭圆，曲线$C_2$是以$O$为顶点，$F_2$为焦点的抛物线，过$F_2$作一条与$x$轴不垂直的直线，分别于曲线$C_1，C_2$交与$A、B、C、D$四点若以$G$为$BC$中点，$H$为$AD$中点，问：
：\[\frac{|AD||GF_1|}{|BC||HF_1|}\]是否是定值？