来自某教师群的直角三角形内接正方形题

kuing

汕头---黄(7997*****)  15:55:12

求详解

我做得有点麻烦，不知大家有没有更巧妙的解法。


对于左图，有
\[\tan A=\frac{BE}{DE}=\frac{a-x}x,\]
得到
\[x=\frac a{1+\tan A}=\frac{c\sin A}{1+\tan A}=\frac{c\sin A\cos A}{\sin A+\cos A},\]
对于右图，有
\[c=AQ+QP+PB=y\cot A+y+y\tan A,\]
得到
\[y=\frac c{1+\tan A+\cot A}=\frac{c\sin A\cos A}{1+\sin A\cos A},\]
因此
\[\frac{441}{440}=\frac{x^2}{y^2}=\left( \frac{1+\sin A\cos A}{\sin A+\cos A} \right)^2=\frac{1+\frac14\sin^22A+\sin 2A}{1+\sin 2A},\]
化简得
\[110\sin^22A=1+\sin 2A,\]
解得
\[\sin 2A=\frac1{10},\]
此结果表明实际上这个直角三角形是灰常尖的。

其妙

考试的时候，就这样做噻，没时间想好方法，

其妙

设斜边$AC$上的高为$h$，且$x,y,a,b,c$的记法以及图形同kuing，显然$ab=ch$。

由熟知的初中平面几何结论知，$\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac1x$，$\dfrac1c+\dfrac1h=\dfrac1y$，
于是，$\dfrac yx=\dfrac{a+b}{c+h}$，

故不妨设$(a+b)^2=440k$，$(c+h)^2=441k$，

两式相减得，$k=(c+h)^2-(a+b)^2=h^2$，（注意勾股定理以及$ab=ch$）

于是，$(c+h)^2=441h^2$，即$c^2+2ch-440h^2=0$，

解得$c=20h$（或$c=-22h$），
所以，$\sin2A=2\sin A\cos A=\dfrac{2ab}{c^2}=\dfrac{2ch}{c^2}=\dfrac{2h}{c}=\dfrac{1}{10}$

kuing

回复 3# 其妙

007

为什么不用BC=BC来计算呢？

007

$BC=CE+EB=\sqrt{S_1}+\sqrt{S_1}\tan\alpha=CN+NB=\sqrt{S_2}\sin\alpha+\dfrac{\sqrt{S_2}}{\cos\alpha}$,
从而有$\sqrt{S_1}(\sin\alpha+\cos\alpha)=\sqrt{S_2}(1+\sin\alpha\cos\alpha)$,
然后两边平方即可。
以下过程略。

kuing

回复 6# 007

其妙

设斜边$AC$上的高为$h$，则$ab=ch$。

由初中平面几何结论知，$\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac1x$，$\dfrac1c+\dfrac1h=\dfrac1y$，

于是，$\dfrac yx=\dfrac{a+b}{c+h}=\dfrac{\dfrac ac+\dfrac bc}{1+\dfrac hc}=\dfrac{\sin A+\cos A}{1+\sin A\cos A}=\dfrac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}}$，

这与6楼和1楼来说都是一样的做法了。

另外，3楼还得到了一些优美的副产品，这里就不再赘述。

kuing

585刚才在粉丝群里发的一道题：

【中Lu】Tesla35(2654******)  15:43:20
kk来看题

Tesla35

回复 9# kuing

已经求得答案。被秒了。

爪机专用

回复 10# Tesla35

咋秒呀585

Tesla35

回复 11# 爪机专用
那俩相似。装糊涂{:curse:}

kuing

回复 12# Tesla35


我真的不会嘛，才没装呐

其妙

用我的那两个结论也行，不用那两个结论，用相似也可以秒，