寻找2013重庆高考理科第10题几何解法

hongxian

在平面上，$\vv{AB_1}\perp \vv{AB_2}$,$\abs{\vv{OB_1}}=\abs{\vv{OB_2}}=1$,$\vv{AP}=\vv{AB_1}+\vv{AB_2}$,若$\abs{\vv{OP}}<\dfrac12$,求$\abs{\vv{OA}}$的取值范围。

乌贼

bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2817898&extr ... 26orderby%3Ddateline

hongxian

看样子是建系得这个结论了

空间一点到矩形一条对角线两端点的距离的平方和等于到矩形另一条对角线两端点的距离的平方和

其妙

1、blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101eou8.html
2、blog.sina.com.cn/s/blog_ce7edb440101ca8q.html

踏歌而来

回复 4# 其妙


      第一个链接中的第一种解法，不容易想到，除非已经知道了向量间的等量关系的结论。第二种向量解法比较自然。

踏歌而来

我也凑个热闹。

矩形的两条对角线长度相等，因此有：
$|\vv{OP}-\vv{OA}|=|\vv{OB1}-\vv{OB2}|    $①

$又\vv{OA}$
$=\vv{OP}+\vv{PA}$
$=\vv{OP}-\vv{AP}$
$=\vv{OP}-(\vv{AB1}+\vv{AB2})$
$=\vv{OP}-(\vv{OB1}-\vv{OA}+\vv{OB2}-\vv{OA})$
所以有：
$\vv{OP}+\vv{OA}=\vv{OB1}+\vv{OB2}      $②
$①^2+②^2$，则得：
$OP^2+OA^2=OB1^2+OB2^2$
$又0≤OP^2<\frac{1}{4},OB1^2=OB2^2=1$
$因此有： \frac{7}{4}<OA^2≤2$
$所以 \frac{\sqrt{7}}{2}<|\vv{OA}|≤\sqrt{2}$
$答案是D。$

踏歌而来

再配一张图：