(z)ssilwa不等式

realnumber

已知：$x,y,z\in R^+,4\le x+y+z\le5$,求证：$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\ge 4+(x-y)^2 $

其妙

可以证明一个比$(x-y)^2$的系数稍微弱一点的不等式，此时$(x-y)^2$的系数$1$改成$\dfrac45$.

kuing

回复 2# 其妙

那就太简单了，没玩头
现在这个挺难的，放缩了几回都过头了

其妙

回复 3# kuing

realnumber

长春学生戴－－(18－－－－141) 09:47:42
我证明了只需证明x+y+z=4和5的情况，但是=5的情况一直没做出
马鞍山 孙世宝(457－－－－03) 09:55:40
我证明了只需证明x+y+z=4和5的情况，但是=5的情况一直没做出
长春学生戴－－(184－－－41) 09:58:40
柯西构造局部
马鞍山 孙世宝(45－－－－03) 09:58:44
双击查看原图是的，只要证明这两种情形：利用一下平移和相似变换---x=x'+t,x=tx'即可。
长春学生戴－－(18－－－－－41) 10:01:18
哦，我是齐次化，引入了一个4到5的参数k，然后右边关于这个k是下凸的，所以只需验证边界

其妙

回复 5# realnumber
啥意思？他们解决了？

realnumber

回复 6# 其妙
没，就x+y+z=5条件下没证明了．只需要解决它，就OK了．

其妙

回复 7# realnumber
我只会$\dfrac45$

realnumber

回复 8# 其妙

要不也贴下？也许有借鉴作用．

kuing

回复 9# realnumber

\[\frac{x^2}y+\frac{y^2}z+\frac{z^2}x=x+y+z+\frac{(x-y)^2}y+\frac{(z-y)^2}z+\frac{(x-z)^2}x\ge\cdots\]

其妙

\[\frac{x^2}y+\frac{y^2}z+\frac{z^2}x=x+y+z+\frac{(x-y)^2}y+\frac{(z-y)^2}z+...\]
kuing 发表于 2014-4-23 12:23

其妙

1、artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=586693

2、artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=52&t=586357
刘保乾先生也出马了：
（ssilwa）Let $x,y,z > 0$.

If $4 \le x+y+z \le 5$, prove that
\[ \frac{x^2}y+ \frac{y^2}z+ \frac{z^2}x \ge 4+(x-y)^2 \]
Dear you,I move your result, nice as yours:

Let $x,y,z > 0$.

If $4 \le x+y+z \le 5$, prove that
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{9}{5}+\frac{27}{250}(x-y)^2\]