$函数\frac{lnx+x}{x^2}的单调区间$

踏歌而来

$令 f(x)=\frac{lnx+x}{x^2}$
$f'(x)=\frac{-x^2-2xlnx+x}{x^4}$
$令f'(x)=0,易知x=1是f'(x)=0的一个根$
$用画板画图可以知道，0<x<1时，f'(x)>0，x>1时，f'(x)<0$

画板在考试中不能用，怎么用导数方式推导出这个结论呢？
$对g(x)=-x^2-2xlnx+x求导得到：$
$g'(x)=-2x-2(lnx+1)+1=-2x-2lnx-1$
$g''(x)=-2-\frac{2}{x}<0$
$因此g'(x)是减函数。$

到了这里，又怎么得出我想要的结论呢？

踏歌而来

明白了，结贴！

踏歌而来

http://wenwen.sogou.com/z/q429683673.htm

要使2方程有一个交点（p,q)  那么2个方程在x=p时的导数相等
我认为，这是胡扯。
比如：y=x^3
与 y=5，它们只有一个交点B，但交点B处的曲线斜率并不等于
直线的斜率。

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http://wenwen.sogou.com/z/q429683673.htm

解答基本正确，说理部分应修改一下。

一个方程与抛物线方程只有一个交点，只能与抛物线相切，即两方程的导数相等。
若相交会有两个交点。这些是由抛物线的性质决定的。

第一章

为何那个$f'(x)$不先约掉一个$x$？

踏歌而来

说得好！后来正是这么做的。

踏歌而来

把我发在别处的帖子转过来，因为与第一楼相近。

$f（x)=x^2-2alnx,若关于x的方程f(x)=2ax有唯一解，求a的取值范围。$

$这道题，我怎么求，都只能求出a=\frac{1}{2}和a=0$
但通过画板画图知道，a<0也满足条件。

不知道怎么求出a<0，请大师们赐教！

踏歌而来

回复 7# 踏歌而来

$也就是说，如何求 \frac{x^2}{lnx+x}的单调性。$
$令g（x）=\frac{x^2}{lnx+x}$
$g'(x)=\frac{x(x+2lnx-1)}{(x+lnx)^2}$
$g'(x)=0，x>0,x+2lnx-1=0，x=1。$
由于x+2lnx-1是增函数，所以，
当x>1时，g'(x)>0,即g(x)是增函数。
$当x1<x<1时，g'(x)<0,g(x)是减函数（其中x1为间断点，x+lnx=0的解，在1和\frac{1}{e}之间）。$
当0<X<x1时，g'(x)<0,g(x)是减函数。
间断点的右边，x=1处为最小值点。

踏歌而来

间断点的左端，（0，x1）之间的取值范围，令我困惑。
我尝试了一下，不知对不对。

$由于0<X<x1时，g'(x)<0,g(x)是减函数，$
$lim(x-->0)\frac{x^2}{lnx+x}=lim(x-->0)\frac{x^2}{x+x}=lim(x-->0)\frac{x}{2}=0$
$所以 0<x<x1时，g(x)<0。$

这样，在单调区间里，y=2a，2a<0就必然与之有一个交点。

这个回答可能不太准确，因为对极限理论我忘了，欢迎大家指正。
上面的思考都是今天早上的胡思乱想。

踏歌而来

为看着清楚，上一张图。

踏歌而来

函数是什么东西？
函数是一个折磨人的东西。

定义在R上的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y) 且f(1)=2 若f(kx)+f(x-2)<0对一切x属于R恒成立 求实数k的值。本题网址

解：

因为f(1)=f(1)+f(0)，所以f(0)=0。
又f(0)=f(-1)+f(1),
所以f(-1)=-2。
令x=1,则f(k)+f(-1)<0,
所以f(k)<2。
又因为函数为单调递增函数，所以K<1。

这样解答没有问题，因为不违反逻辑。

$但是，如果k=\frac{4}{5},x=5，那f(kx)+f(x-2)就变成了f(4)+f(3)$
f(1)=2,f(2)=f(1)+f(1)=4,f(4)=f(2)+f(2)=8,f(3)=f(1)+f(2)=2+4=6
因此,f(4)+f(3)=14，14怎么可能小于零呢？
因此 k<1肯定不对。

由此怀疑这道题是否包含错误。
下面我们进行考察：
推理如下：
∵ f(x+y)=f(x)+f(y)
∴ f(kx)+f(x-2)=f(kx+x-2)
f(0)=0,f(1)=2，f(x)是在R上的单调函数
∴ 要使f(kx)+f(x-2)<0恒成立，那就是kx+x-2<0恒成立。

假设k=0，x<2，就不是全部的R，所以k≠0
$假设k>0，x≠0，k<\frac{2-x}{x}，\frac{2-x}{x}最小值为-1。$
$假设k<0，x≠0，k>\frac{2-x}{x},\frac{2-x}{x}最大值为-1。$

∴ -1≤k<0
经检验 k=-1时满足 f(kx)+f(x-2)<0在R上恒成立的条件。

踏歌而来

已知函数f(x) 满足：
（1）        若 x>y且 f(x)+x>=k>=f(y)+y，则存在实数 z属于[y,x]，使得 f(z)=k-z
（2）        方程f(x)=0 至少有一个解，并在该方程的解中存在一个解不大于所有其他的解
（3）         f(0)=1
（4）         f(-1999)<=2000
（5）         f(x)f(y)=f[xf(y)+yf(x)+xy]
求 f(-1999)的值


http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=3098526&extra=page%3D1
这道题有6天，都没有人回答。
我看了也不知道怎么做，我想还是把它随便做做吧。
请大家看看，是否是正确的。
我有点怀疑。