Prove that $(\ln{\dfrac{1-\sin{xy}}{1+\sin{xy}}})^2 \geqslant \cdots$

其妙

Prove that if  $x, y \in (0,\sqrt{\frac{\pi}{2}})$ and  $ x \neq y$， then $(\ln{\dfrac{1-\sin{xy}}{1+\sin{xy}}})^2 \geqslant \ln{\dfrac{1-\sin{x^2}}{1+\sin{x^2}}}\ln{\dfrac{1-\sin{y^2}}{1+\sin{y^2}}}$

yumath

同求证明手段？

realnumber

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2014-5-12 07:53 上传

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图象显示并不成立.
误打正着，修改了下图象，确实如楼下kuing说的，反向似乎成立．

其妙

回复 3# realnumber
老外也不可靠呀，

kuing

mathematica 直接画二元函数图象显示不等式反向恒成立

kuing

考虑展开式
\[\ln \frac{1+\sin x}{1-\sin x} = 2 x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{12}+\cdots\]
假如能够证明后面的项的系数全是正的，这样的话，乘起来再用柯西不等式就得出反向的不等式了。
但是如何证明系数全正？高数不在行，先闪……

kuing

用积分的柯西似乎可以，希望没弄错。

我们要证的是
\[\left( \ln \frac{1-\sin xy}{1+\sin xy} \right)^2\leqslant \ln \frac{1-\sin x^2}{1+\sin x^2}\ln \frac{1-\sin y^2}{1+\sin y^2},\]
亦即
\[\left( \ln \frac{1+\sin xy}{1-\sin xy} \right)^2\leqslant \ln \frac{1+\sin x^2}{1-\sin x^2}\ln \frac{1+\sin y^2}{1-\sin y^2}, \quad (*)\]
注意到
\[\left( \ln \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right)'=\frac2{\cos x},\]
由 $x$, $y$ 的范围知
\begin{align*}
(*) & \iff\left( \int_0^{xy}{\frac2{\cos t}\rmd t} \right)^2\leqslant \left( \int_0^{x^2}{\frac2{\cos t}\rmd t} \right)\left( \int_0^{y^2}{\frac2{\cos t}\rmd t} \right) \\
& \iff\left( \int_0^{xy}{\frac2{\cos t}\rmd t} \right)^2\leqslant \left( \int_0^{xy}{\frac2{\cos (xt/y)}\cdot \frac xy\rmd t} \right)\left( \int_0^{xy}{\frac2{\cos (yt/x)}\cdot \frac yx\rmd t} \right) \\
& \iff\left( \int_0^{xy}{\frac1{\cos t}dt} \right)^2\leqslant \left( \int_0^{xy}{\frac1{\cos (xt/y)}\rmd t} \right)\left( \int_0^{xy}{\frac1{\cos (yt/x)}\rmd t} \right),
\end{align*}
由柯西不等式有
\[\left( \int_0^{xy}{\frac1{\cos (xt/y)}\rmd t} \right)\left( \int_0^{xy}{\frac1{\cos (yt/x)}\rmd t} \right)\geqslant \left( \int_0^{xy}{\frac1{\sqrt{\cos (xt/y)\cos (yt/x)}}\rmd t} \right)^2,\]
由此可见，只要证明当 $x$, $y\in\bigl(0,\sqrt{\pi/2}\bigr)$, $0<t<xy$ 时恒有
\[\cos \frac{xt}y \cos \frac{yt}x \leqslant \cos^2t, \quad (**)\]
令
\[h(x)=\ln \cos x, \quad x\in(0,\pi/2),\]
求导得
\begin{align*}
h'(x)&=-\tan x<0, \\
h''(x)&=-\sec ^2x<0,
\end{align*}
由琴生、均值及单调性，即得
\[h\left( \frac{xt}y \right)+h\left( \frac{yt}x \right)\leqslant 2h\left( \frac12\left( \frac xy+\frac yx \right)t \right)\leqslant 2h(t),\]
即
\[\ln \cos \frac{xt}y+\ln \cos \frac{yt}x\leqslant 2\ln \cos t,\]
亦即式 (**)，故式 (*) 获证。

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楼主哩？
有没有其他证法？

其妙

回复 8# 删广告专用
我在，
但没有其他做法。
k版的证法绝妙呀！看来只有战巡等来打分了！