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kuing
Posted 2014-5-12 09:41
用积分的柯西似乎可以，希望没弄错。
我们要证的是
\[\left( \ln \frac{1-\sin xy}{1+\sin xy} \right)^2\leqslant \ln \frac{1-\sin x^2}{1+\sin x^2}\ln \frac{1-\sin y^2}{1+\sin y^2},\]
亦即
\[\left( \ln \frac{1+\sin xy}{1-\sin xy} \right)^2\leqslant \ln \frac{1+\sin x^2}{1-\sin x^2}\ln \frac{1+\sin y^2}{1-\sin y^2}, \quad (*)\]
注意到
\[\left( \ln \frac{1+\sin x}{1-\sin x} \right)'=\frac2{\cos x},\]
由 $x$, $y$ 的范围知
\begin{align*}
(*) & \iff\left( \int_0^{xy}{\frac2{\cos t}\rmd t} \right)^2\leqslant \left( \int_0^{x^2}{\frac2{\cos t}\rmd t} \right)\left( \int_0^{y^2}{\frac2{\cos t}\rmd t} \right) \\
& \iff\left( \int_0^{xy}{\frac2{\cos t}\rmd t} \right)^2\leqslant \left( \int_0^{xy}{\frac2{\cos (xt/y)}\cdot \frac xy\rmd t} \right)\left( \int_0^{xy}{\frac2{\cos (yt/x)}\cdot \frac yx\rmd t} \right) \\
& \iff\left( \int_0^{xy}{\frac1{\cos t}dt} \right)^2\leqslant \left( \int_0^{xy}{\frac1{\cos (xt/y)}\rmd t} \right)\left( \int_0^{xy}{\frac1{\cos (yt/x)}\rmd t} \right),
\end{align*}
由柯西不等式有
\[\left( \int_0^{xy}{\frac1{\cos (xt/y)}\rmd t} \right)\left( \int_0^{xy}{\frac1{\cos (yt/x)}\rmd t} \right)\geqslant \left( \int_0^{xy}{\frac1{\sqrt{\cos (xt/y)\cos (yt/x)}}\rmd t} \right)^2,\]
由此可见，只要证明当 $x$, $y\in\bigl(0,\sqrt{\pi/2}\bigr)$, $0<t<xy$ 时恒有
\[\cos \frac{xt}y \cos \frac{yt}x \leqslant \cos^2t, \quad (**)\]
令
\[h(x)=\ln \cos x, \quad x\in(0,\pi/2),\]
求导得
\begin{align*}
h'(x)&=-\tan x<0, \\
h''(x)&=-\sec ^2x<0,
\end{align*}
由琴生、均值及单调性，即得
\[h\left( \frac{xt}y \right)+h\left( \frac{yt}x \right)\leqslant 2h\left( \frac12\left( \frac xy+\frac yx \right)t \right)\leqslant 2h(t),\]
即
\[\ln \cos \frac{xt}y+\ln \cos \frac{yt}x\leqslant 2\ln \cos t,\]
亦即式 (**)，故式 (*) 获证。 |
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yumath
Posted 2014-5-11 14:33
