来自人教群的导数题可能是FAQ

kuing

教师马杰(7413*****)  18:53:00

构造函数后如何解决？

\[
f'(x)=\left( \frac{xf(x)}x \right)'=\frac{\bigl(xf'(x)+f(x)\bigr)x-xf(x)}{x^2}=\frac{\ln x-xf(x)}{x^2},
\]
令 $g(x)=\ln x-xf(x)$，则
\[g'(x)=\frac1x-xf'(x)-f(x)=\frac{1-\ln x}x,\]
故
\[g(x)\leqslant g(e)=\ln e-ef(e)=0,\]
所以 $f'(x)\leqslant 0$。

kuing

感觉以前见过类似的题……估计以前也写过类似的过程……

tommywong

$\displaystyle(xf(x))'=\frac{lnx}{x},f(x)=\frac{1}{2x}[(lnx)^2+1]$

kuing

居然能积出来，那就没啥意思了……

kuing

类似的题，一样的招。

晋教师-木木(6710****)  13:26:17
各位老师 请教这个问题

解：因为
\[\left( \frac{f(x)}{x^2} \right)'=\frac{f'(x)x^2-2xf(x)}{x^4}=\frac{e^x}x,\]
所以
\[f'(x)=\left( x^2\cdot \frac{f(x)}{x^2} \right)'=2x\cdot \frac{f(x)}{x^2}+x^2\cdot \frac{e^x}x=2x\left( \frac{f(x)}{x^2}+\frac{e^x}2 \right),\]
令
\[g(x)=\frac{f(x)}{x^2}+\frac{e^x}2,\]
则
\[g'(x)=\frac{e^x}x+\frac{e^x}2,\]
故当 $x>0$ 时 $g'(x)>0$，又因为 $g(2)=-2e^2/4+e^2/2=0$，所以当 $0<x<2$ 时 $g(x)<0$, $f'(x)<0$，当 $x>2$ 时 $g(x)>0$, $f'(x)>0$，故此当 $x>0$ 时 $f(x)$ 有极小值 $f(2)$，无极大值。

kuing

回复 5# kuing

这次就积不出了吧

其妙

不知道这个链接里面的有没有相类似的？blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102v5ca.html

青青子衿

回复 7# 其妙

不知道这个链接里面的有没有相类似的？
其妙 发表于 2014-12-3 22:50

(2013辽宁•理12)设函数\(f(x)\)满足\(x^2f'(x)十2xf(x)=e^x/x\)，
\(f(2)=e^2/8\)，则\(x>0\)时，\(f(x)\)的极值情况
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
其妙给的链接中的方法居然能消掉\(f(x)\)
而菁优网给的方法相比就笨拙多了！
jyeoo.com/math2/ques/detail/52b27197-b09e-4773-843b-6313d71fe558

kuing

回复 8# 青青子衿

菁优网那个是什么烂解析啊

　　　　　　　　　　　　 右边都成无穷大了啊，简直乱来……

kuing

回复 8# 青青子衿

用积分写的话可以这样写：

\[x^2f'(x)+2xf(x)=\frac{e^x}x \iff \bigl(x^2f(x)\bigr)'=\frac{e^x}x
\iff x^2f(x)=\int_2^x{\frac{e^t}t\rmd t}+C,\]
其中 $C$ 为常数，再由 $f(2)=e^2/8$ 可知 $C=e^2/2$，所以
\[f(x)=\frac1{x^2}\left( \int_2^x{\frac{e^t}t\rmd t}+\frac{e^2}2 \right),\]
求导得
\[f'(x)=\frac1{x^3}\left( e^x-2\int_2^x{\frac{e^t}t\rmd t}-e^2 \right),\]
令
\[g(x)=e^x-2\int_2^x{\frac{e^t}t\rmd t}-e^2,\]
则
\[g'(x)=e^x-\frac{2e^x}x=\frac{e^x(x-2)}x,\]
所以当 $x>0$ 时
\[g(x)\geqslant g(2)=0 \riff f'(x)\geqslant 0.\]

这种方法其实本质上和上面的方法没什么分别，只是这里用积分把表达式显示出来而已。