(z)转个不定方程（来自不等式群）

realnumber

看到就感觉很无力的那种．

郝酒

这题就是慢慢鬥
$$2^{x+1}=(z-y)(z+y)$$
$z-y,z+y$同为2的幂.
$$z = \frac{2^m+2^n}{2}=2^{m-1}+2^{n-1},y=\frac{2^{m}-2^{n}}{2} = 2^{m-1}-2^{n-1}$$
同为奇素数
因此$n=1$.
令$t = m-1$,解变成$z = 2^t+1,y=2^t-1,2^{x+1}=z^2-y^2=2^{t+2}$
要$y$是素数，$t=2,x=3,z = 5,y=3$

realnumber

回复 2# 郝酒
想明白了，最后一步是，z,y一定有一个被3整除（二项展开$(3-1)^t+1,(3-1)^t-1$）．
要都是质数的话，只能一个是3．

郝酒

我是直接由$2^t-1$因式分解去想的，这样的话好像也可以取7,31之类的。（这时，z不得行）
你这种做法是对的，我未考虑周全.