独特的$f(x)=[x[x]]$

青青子衿

定义函数$f(x)=[x[x]]$，其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数，当$x∈[0，n)(n∈\mathbb{N^*})$时，设函数$f(x)=[x[x]]$的值域为集合$A$,记集合$A$中的元素的个数为$a_n$，则使$\frac{a_n+49}{n}$取得最小值时的值为

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n=1,A={0}
n=2,A={0,1}
n=3,A={0,1,4,5}－－－通过这些特殊值的探索，发现需要考察的是$x\in$[k,k+1)．
当$x\in [k,k+1),k\in N^+$,那么[x]=k,$k^2\le$x[x]<k(k+1),即$k^2\le$[x[x]]$\le k(k+1)-1$,共k个整数．
所以$a_n=1+(1+2+3+\cdots+(n-1))=1+0.5n(n-1)$
所以1楼表达式在n=10时，取到最小值9.5．

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问题中$f(x)$如果修改为$f(x)=$[x[x[x]]]，不知道会怎么样．

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或修改为别的诸如$f(x)=$[$x^2$[x]]等等．

其妙

和这里的第13题背景类似：
blog.sina.com.cn/s/blog_3e2913e90101fqc6.html
2014年广东省广州二模理数