二元条件最小值

guanmo1

已知 $x_1 x_2=-4$，求 $\abs{\frac{x_1-x_2}{3-\left(x_1+x_2\right)}}$ 的最小值（不消元为一元函数，有好办法吗？）

kuing

令 $x_1+x_2=t$，易见 $t$ 的取值范围是 $\Bbb R$，原式平方化为
\[\frac{t^2+16}{(3-t)^2},\]
就是常规的东西了，随便做……

guanmo1

回复 2# kuing


    嗯，更进一步地，干脆令t=3-（x1+x2）了。这样分母为单项式，好搞。

kuing

回复 3# guanmo1

嗯

guanmo1

回复 4# kuing


   

其妙

回复 1# guanmo1
下面的方法，既不消元，也不变为一元函数：
\begin{align*}
|x_1-x_2|^2&=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\\
&=(x_1+x_2)^2+16\\
&=\dfrac{9\times16}{9}+\dfrac{(-4x_1-4x_2)^2}{16}\\
&\geqslant\dfrac{(12-4x_1-4x_2)^2}{9+16}\\
&=\dfrac{16(3-x_1-x_2)^2}{25}.
\end{align*}所以，\[\abs{\dfrac{x_1-x_2}{3-(x_1+x_2)}}\geqslant\dfrac45.\]

isee

平方是关键，柯西出手就到位了

不过，这个凑配还是难点了，对新手，至少是

其妙

\begin{align*}
|x_1-x_2|^2&=-4x_1x_2+(x_1+x_2)^2\\
&=\dfrac{(-\dfrac34x_1x_2)^2}{-\dfrac{9}{64}x_1x_2}+\dfrac{(-x_1-x_2)^2}{1}\\
&\geqslant\dfrac{(-\dfrac34x_1x_2-x_1-x_2)^2}{-\dfrac{9}{64}x_1x_2+1}\\
&=\dfrac{(3-x_1-x_2)^2}{\dfrac{9}{16}+1}\\
&=\dfrac{16(3-x_1-x_2)^2}{25}.
\end{align*}
当$x_1x_2=-4m$（常数$m>0$），上面证明了不等式:\[|x_1-x_2|^2\geqslant\dfrac{(-\dfrac34x_1x_2-x_1-x_2)^2}{-\dfrac{9}{64}x_1x_2+1}=\dfrac{(3m-x_1-x_2)^2}{\dfrac{9m}{16}+1}.\]
所以，\[\abs{\dfrac{x_1-x_2}{3m-(x_1+x_2)}}\geqslant\dfrac{4}{\sqrt{9m+16}}.\]