求和

依然饭特稀

$a_n=n!2^n$, 求 $S_n$

kuing

呃，原题是这样？

isee

回复 2# kuing


    估计是提取的关键部分。和应该能求，我见过类似的阶乘求和，估计，主楼也能吧。

    用软件不能破？

tommywong

$n!$

已经不能

isee

回复 4# tommywong


    那楼主应该查查源了。一时半会找不到我见到关于阶乘的例子了

tommywong

试一下近似的

$\displaystyle \sum_{r=1}^n r!=n!(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n(n-1)}+...)>n!(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+...)\approx n!(\frac{n}{n-1})$

$\displaystyle \sum_{r=1}^n r!2^r=n!2^n(1+\frac{1}{2n}+\frac{1}{4n(n-1)}+...)>n!(1+\frac{1}{2n}+\frac{1}{4n^2}+...)\approx n!2^n(\frac{2n}{2n-1})$

战巡

回复 1# 依然饭特稀


\[a_i=i!·2^i=\Gamma(i+1)2^i=\int_0^\infty(2x)^ie^{-x}dx\]   
\[S_n=\sum_{i=1}^na_i=\int_0^\infty\sum_{i=1}^n(2x)^i e^{-x}dx=\int_0^\infty\frac{2xe^{-x}((2x)^n-1)}{2x-1}dx\]
然后就这么地了，没法化简了

007

个人感觉是因为字体问题，$n·2^n$中“·”显示出错成了“!”号。

tommywong

$\displaystyle x=1+\frac{1}{n}(1+\frac{1}{n-1}(1+\frac{1}{n-2}(...)))$算得近似式

$\displaystyle \sum_{r=1}^n r! \approx n! (\frac{\displaystyle \sum_{r=0}^k \frac{1}{P_n^r}}{\displaystyle 1-\frac{1}{P_n^{k+1}}})$

$\displaystyle \sum_{r=1}^{100} r! \approx 100! (\frac{\displaystyle 1+\frac{1}{100}+\frac{1}{100\times 99}+\frac{1}{100\times 99\times 98}}{\displaystyle 1-\frac{1}{100\times 99\times 98\times 97}})$达到了10位有效数字

$\displaystyle \sum_{r=1}^n r!2^r \approx n!2^n (\frac{\displaystyle \sum_{r=0}^k \frac{1}{2^r P_n^r}}{\displaystyle 1-\frac{1}{2^{k+1} P_n^{k+1}}})$

$\displaystyle \sum_{r=1}^{50} r!2^r \approx 50!2^{50} (\frac{\displaystyle 1+\frac{1}{100}+\frac{1}{100\times 98}+\frac{1}{100\times 98\times 96}}{\displaystyle 1-\frac{1}{100\times 98\times 96\times 94}})$达到了11位有效数字

isee

看到个类似的是：

$1\cdot 1!+2\cdot 2!+\cdots+n\cdot n!$

kuing

回复 10# isee

这个简单裂项啊

其妙

稀饭害死好多人呀！