2007江西第8题

青青子衿

(2007•江西8)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为$h_1，h_2，h_3，h_4，$则它们的大小关系正确的是________
(2007•江西8改编)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、杯中容积相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为$h_1，h_2，h_3，h_4，$则它们的大小关系正确的是________

\[{V_{}} = \frac{{\pi {H^2}\left( {3R - H} \right)}}{3} = \frac{{\pi H(3{r^2} + {H^2})}}{6}\]
球半径$R$，球缺高$H$，底面半径$r$

realnumber

是这个$h_2>h_3>h_1>h_4$?

青青子衿

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(2007•江西8)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是________
\(  {V_{完整圆锥}} = \frac{1}{3}\pi {H^3}{\tan ^2}\theta  = \frac{1}{3}\pi {R^2}H = {V_{圆锥}}\left( H \right),{V_{圆锥}}\left( h \right) = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {h\tan \theta } \right)^2}h = \frac{1}{3}\pi {h^3}{\tan ^2}\theta \\\)
\(  {V_{完整圆台}} = \frac{1}{3}\pi H\left( {3{r_1}^2 + 3{r_1}H\tan \theta  + {H^2}{{\tan }^2}\theta } \right) = \frac{1}{3}\pi \left( {{r_1}^2 + {r_1}{r_2} + {r_2}^2} \right)H = {V_{圆台}}\left( H \right),\\{V_{圆台}} = \frac{1}{3}\pi \left( {{r_1}^2 + {r_1}{r_2} + {r_2}^2} \right)h = \frac{1}{3}\pi \left[ {{r_1}^2 + {r_1}\left( {{r_1} + h\tan \theta } \right) + {{\left( {{r_1} + h\tan \theta } \right)}^2}} \right]h = \frac{1}{3}\pi h\left( {3{r_1}^2 + 3{r_1}h\tan \theta  + {h^2}{{\tan }^2}\theta } \right) \\\)
\(  {V_{完整圆柱}} = \pi {R^2}H = {V_{圆柱}}\left( H \right),{V_{圆柱}}\left( h \right) = \pi {R^2}h \\\)
\(  {V_{完整球缺}} = {V_{球缺}}\left( H \right),{V_{球缺}}\left( h \right) = \frac{1}{6}\pi h\left( {3{r^2} - {h^2}} \right)\\ \)

青青子衿

\[\begin{gathered}
  {V_{完整圆锥}}\left( H \right) = 2{V_{圆锥}}\left( {{h_{圆锥}}} \right)  \\
  {V_{完整圆台}}\left( H \right) = 2{V_{圆台}}\left( {{h_{圆台}}} \right)  \\
  {V_{完整圆柱}}\left( H \right) = 2{V_{圆柱}}\left( {{h_{圆柱}}} \right)   \\
  {V_{完整球缺}}\left( H \right) = 2{V_{球缺}}\left( {{h_{球缺}}} \right)   \\
\end{gathered} \]
然后比较
\[h_{圆锥}，h_{圆台}，h_{圆柱}，h_{球缺}\]

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(2007•江西8)四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等 ...
青青子衿 发表于 2014-5-17 14:52

\[{\color{red}{{V_{完整球缺}} = {V_{球缺}}\left( H \right),{V_{球缺}}\left( h \right) = \frac{1}{6}\pi h\left( {3{r^2} - {h^2}} \right)\\}}\]
\[{\color{Magenta}{{V_{完整球缺}} = {V_{球缺}}\left( H \right),{V_{球缺}}\left( h \right) = \frac{1}{6}\pi h\left( {3{r^2} - {h^2}} \right)\\}}\]
\[{\left( {{R_{球}} - h} \right)^2} + {r_{球缺底面}}^2 = {R_{球}}^2\]
\[{R_{球}} = \frac{{{r_{球缺底面}}^2}}{{2H}},{r_{球缺底面}}^2 = 2H{R_{球}}\]
\[{V_{完整球缺}} = {V_{球缺}}\left( H \right),{V_{球缺}}\left( h \right) = \frac{1}{6}\pi h\left( {3{r^2} - {h^2}} \right) = \frac{1}{6}\pi h\left( {\frac{{3h{r_{球缺底面}}^2}}{H} - {h^2}} \right)\]