连续的2个正整数乘积，不是完全平方数

realnumber

连续的2或3或4或5个正整数乘积，不是完全平方数.
(一般情景当然不讨论，具体见这里pan.baidu.com/share/link?shareid=1388425666&uk=51039442&fid=311343573)

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先写最好处理的２个自然数，
方法一：$n^2<n(n+1)<(n+1)^2$,因此$n(n+1)$不是完全平方数．
方法二:因为$(n,n+1)=1$,所以设$x^2=n,y^2=n+1,x,y为正整数$，
而$1=y^2-x^2=(y-x)(y+x)>1$矛盾．

Tesla35

文章作者Erdos就是天书。

其妙

戴天书呀？

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三个的，因为$(n-1,n)=1=(n,n+1)$.
所以设$n=a^2,a\in Z^+$
而$(a^3-1)^2<(a^2-1)a^2(a^2+1)<(a^3)^2$,所以$(n-1)n(n+1)$不是完全平方数．

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１０个的，以前写的，先放在这，不清楚有没漏洞：
假设有这样10个数,积是完全平方.
10个连续数的积中若有大于7的质因数p,那么一定就一个数为p的倍数且p的次数一定为偶次方.含5,7因数的分别最多2个,并且分别一奇一偶;
10个数中,有5个奇数,以下分析这5个数
①.其中被3整除的最少1个,若一个,还有4个奇数不是3的倍数,去掉被5或7整除的数,至少还有2个,问题解决,见最后一段.
②若有2个被3整除,质因数分解后都是3的奇数次方,若这2个数都不被5,7整除,则提出公因数3后分别是完全平方数,若有一个被5或7整除,则5个奇数中存在2个奇数不是3,5,7的倍数,见最后一段
③若有2个被3整除,若有一个是3的偶次方,,保留偶次方的,现在有4个奇数,仅一个是3的倍数,且3的次数是偶次方,去掉含5,7的.
至少留下2个奇数,质因数分解后都是偶次方,即本身是完全平方数,之差即m2−n2=(m+n)(m−n)>8,即.考虑差到一定小于等于8,矛盾．

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4个的
$a(a+1)(a+2)(a+3)=(a^2+3a+1-1)(a^2+3a+1+1)<(a^2+3a+1)^2$
$a(a+1)(a+2)(a+3)=(a^2+3a)(a^2+3a+2)>(a^2+3a)^2$
所以4个也成立．

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质数表2,3,5,7,9,11,13,17,19,23,29,....
5个的
$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$,
通过观察质数表，得到$n-2\ge 24$,以下出现的字母都为正整数．
1.若n为奇数且为3的倍数，则n-2,n+2分别与其它数互素，则$n-2=s^2,n+2=t^2,t>s>4$．$4=t^2-s^2=(t-s)(t+s)\ge t+s＞4$矛盾.
2.若n为奇数且不为3的倍数，n与其它四个数互素，n+2,n-2其中一个与其它数也互素，
模仿1.也得到矛盾．
3.若n为偶数且为3的倍数，n-1,n+1与分别其它数互素，$n-1=s^2,n+1=t^2$，模仿1.可得矛盾．
4.若n为偶数且不为3的倍数．n-1,n+1其中有一个不为3的倍数，这个数与其它数互素，这个数为某数的平方．偶数n-2与n+2也有个数不为3的倍数，这个数与n，有一个其中因数2为偶次幂，且与其它数无大于等于3的因数，因此也是一个完全平方数．模仿１．再次得矛盾．